Erklärung

Netze von Körpern

Ein Würfel hat genau 11 verschiedene Netze. Sechs Quadrate lassen sich auf 35 Arten Kante an Kante zusammenfügen, aber nur 11 davon lassen sich zu einem Würfel falten; Formen, die durch Drehen oder Spiegeln ineinander übergehen, zählen als dasselbe Netz. Auf dieser Seite öffnen sich alle 11 nacheinander aus dem Körper, und sobald der vollständige Satz zu sehen ist, beginnt die Folge von vorn.

Die Flächen sind farbig markiert, und im Anzeige-Panel lässt sich zusätzlich eine Zahl auf jede Fläche schreiben. Die Farbe ergibt sich daraus, welche Fläche beim Rollen des Würfels auf das nächste Feld unten liegt. Deshalb zeigt jedes Netz alle sechs Farben genau einmal, und man erkennt, welche Farben sich am Ende gegenüberliegen. Nach der Länge des mittleren Streifens gruppiert: sechs Netze sind vom Typ 1-4-1, ein Streifen aus vier Quadraten mit je einem Quadrat links und rechts; drei sind vom Typ 2-3-1; die Treppe 2-2-2 und das 3-3 kommen je einmal vor.

Im Körper-Panel lässt sich auf das reguläre Tetraeder oder das reguläre Oktaeder umschalten. Das Tetraeder hat zwei Netze, das Oktaeder elf und damit genauso viele wie der Würfel. Die Zahlen stimmen überein, weil Würfel und Oktaeder dual zueinander sind und ihre Flächen deshalb nach demselben Muster zusammenhängen. Der Faltwinkel unterscheidet sich je Körper: 90 Grad beim Würfel, etwa 109,47 Grad beim Tetraeder und etwa 70,53 Grad beim Oktaeder, jeweils der Ergänzungswinkel zum Diederwinkel des betreffenden Körpers.

Dazu kommen das reguläre Dodekaeder und das reguläre Ikosaeder. Beide haben 43380 Netze, viel zu viele, um sie nebeneinanderzulegen; deshalb wird von jedem nur eine vertraute Form gezeigt: beim Dodekaeder zwei Rosetten aus einem mittleren Fünfeck mit fünf Blättern ringsum, beim Ikosaeder ein Streifen aus zehn gleichseitigen Dreiecken mit je einer Kappe aus fünf Dreiecken an den Enden. Die Zahlen stimmen überein, weil auch diese beiden dual zueinander sind. Der Faltwinkel beträgt beim Dodekaeder etwa 63,43 Grad und beim Ikosaeder etwa 41,81 Grad.

Schneidet man einem regulären Körper die Ecken ab, entsteht ein archimedischer Körper. Der Schnitt wird dort gesetzt, wo die Schnittfläche ein regelmäßiges Vieleck wird: bei Körpern mit Dreiecksflächen ein Drittel der Kante, beim Würfel 1/(2+√2) und beim regulären Dodekaeder 1/(2+φ). Aus dem Tetraeder werden 4 Dreiecke und 4 Sechsecke, aus dem Würfel 8 Dreiecke und 6 Achtecke, aus dem Oktaeder 6 Quadrate und 8 Sechsecke, aus dem Dodekaeder 20 Dreiecke und 12 Zehnecke und aus dem Ikosaeder 12 Fünfecke und 20 Sechsecke. Das Letzte davon ist der Fußball. An den Kanten, an denen zwei ursprüngliche Flächen weiterhin zusammenstoßen, bleibt der Faltwinkel des Ausgangskörpers erhalten.

Die Auswahl geht über die regulären Körper hinaus. Kuboktaeder und Ikosidodekaeder sind halbreguläre Körper: Man erhält sie, indem man einem regulären Körper die Ecken bis zu den Kantenmitten abschneidet. Jede Kante ist die Naht zwischen denselben beiden Flächenarten, deshalb gibt es nur einen Faltwinkel. Rhombendodekaeder und Rhombentriakontaeder sind ihre Dualkörper, und alle ihre Flächen sind kongruente Rhomben. Das Rhombendodekaeder füllt den Raum sogar lückenlos aus: Es ist die Form eines Granatkristalls und die des Bodens einer Bienenwabe. Der Faltwinkel beträgt beim Kuboktaeder etwa 54,74 Grad, beim Ikosidodekaeder etwa 37,38 Grad, beim Rhombendodekaeder genau 60 Grad und beim Rhombentriakontaeder genau 36 Grad.

Auch Zylinder und Kegel stehen zur Wahl. Das Zylindernetz ist ein Rechteck, so breit wie der Umfang der Grundfläche und so hoch wie der Zylinder, an das oben und unten je ein Kreis anschließt. Das Kegelnetz besteht aus einem Kreissektor und einem Kreis; der Mittelpunktswinkel des Sektors ist 2π mal Grundradius geteilt durch Mantellinie, bei einem Radius von genau der halben Mantellinie also ein Halbkreis. Die gekrümmten Mantelflächen sind nicht eben und werden deshalb in schmale Streifen und Sektoren zerlegt und Stück für Stück gerollt. Im Anzeige-Panel lässt sich einstellen, wie schnell sich die Netze öffnen.

Dazu kommen Dreiecksprisma, Pyramide und Kegelstumpf. Das Prismanetz ist ein Streifen aus drei Rechtecken, an dessen mittleres oben und unten je ein Dreieck anschließt; das Pyramidennetz ist ein Quadrat mit je einem Dreieck an seinen vier Seiten. Ein Kegelstumpf ist ein gekürzter Kegel, sein Mantelnetz also der Kreissektor dieses Kegels ohne den Sektor der Spitze, ein Teil eines Kreisrings.