Explication

Patrons de solides

Le cube possède exactement 11 patrons distincts. Il y a 35 façons d'assembler six carrés bord à bord, mais 11 seulement se replient en cube, les figures identiques à une rotation ou à un retournement près comptant pour un même patron. Sur cette page, les 11 s'ouvrent un par un à partir du solide, puis la séquence recommence dès que la série complète est à l'écran.

Les faces sont colorées, et le panneau Affichage permet aussi d'inscrire un numéro sur chacune. La couleur est donnée par la face qui se retrouve dessous lorsque le cube roule vers la case suivante : chaque patron montre donc les six couleurs exactement une fois, et l'on voit quelles couleurs finissent opposées. Les patrons se regroupent selon la longueur de la bande centrale : six sont de type 1-4-1, une bande de quatre avec un carré de chaque côté ; trois sont de type 2-3-1 ; l'escalier 2-2-2 et le 3-3 apparaissent une fois chacun.

Le panneau Solide permet de passer au tétraèdre régulier ou à l'octaèdre régulier. Le tétraèdre a deux patrons ; l'octaèdre en a onze, autant que le cube. Ces nombres coïncident parce que le cube et l'octaèdre sont duaux : leurs faces se raccordent selon le même schéma. L'angle de pliage change avec le solide : 90 degrés pour le cube, environ 109,47 pour le tétraèdre et environ 70,53 pour l'octaèdre, chaque fois le supplémentaire de l'angle dièdre du solide.

Le dodécaèdre régulier et l'icosaèdre régulier figurent aussi dans la liste. Chacun possède 43380 patrons, bien trop pour les aligner, si bien qu'une seule forme familière est retenue pour chaque solide : deux rosaces formées d'un pentagone central entouré de cinq pétales pour le dodécaèdre, et une bande de dix triangles équilatéraux coiffée de cinq triangles à chaque extrémité pour l'icosaèdre. Ces nombres coïncident parce que ces deux solides sont eux aussi duaux. L'angle de pliage vaut environ 63,43 degrés pour le dodécaèdre et environ 41,81 pour l'icosaèdre.

Couper les coins d'un solide régulier donne un solide d'Archimède. La coupe se place là où la face dégagée devient un polygone régulier : au tiers de chaque arête pour les solides à faces triangulaires, à 1/(2+√2) pour le cube et à 1/(2+φ) pour le dodécaèdre régulier. Le tétraèdre donne 4 triangles et 4 hexagones, le cube 8 triangles et 6 octogones, l'octaèdre 6 carrés et 8 hexagones, le dodécaèdre 20 triangles et 12 décagones, et l'icosaèdre 12 pentagones et 20 hexagones. Ce dernier est le ballon de football. Le long des arêtes où deux faces d'origine se rejoignent encore, l'angle de pliage du solide de départ se conserve.

La liste va au-delà des solides réguliers. Le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre sont des solides semi-réguliers : on les obtient en coupant les coins d'un solide régulier aux milieux de ses arêtes. Chaque arête est la jonction des deux mêmes sortes de faces, il n'y a donc qu'un seul angle de pliage. Le dodécaèdre rhombique et le triacontaèdre rhombique en sont les duaux, et toutes leurs faces sont des losanges congruents. Le dodécaèdre rhombique remplit même l'espace sans laisser de vide : c'est la forme d'un cristal de grenat et celle du fond d'une alvéole de ruche. L'angle de pliage vaut environ 54,74 degrés pour le cuboctaèdre, environ 37,38 pour l'icosidodécaèdre, exactement 60 pour le dodécaèdre rhombique et exactement 36 pour le triacontaèdre rhombique.

Le cylindre et le cône figurent aussi dans la liste. Le patron du cylindre est un rectangle aussi large que le périmètre de la base et aussi haut que le cylindre, avec un cercle tangent en haut et un autre en bas. Celui du cône est un secteur et un cercle, et l'angle au centre du secteur vaut 2π fois le rayon de la base divisé par la génératrice ; un rayon égal à la moitié de la génératrice donne donc un demi-cercle. Les surfaces latérales ne sont pas planes : elles sont découpées en fines bandes et en secteurs, puis enroulées petit à petit. Le panneau Affichage règle la vitesse d'ouverture.

Le prisme triangulaire, la pyramide à base carrée et le tronc de cône figurent aussi dans la liste. Le patron du prisme est une bande de trois rectangles, avec un triangle au-dessus et au-dessous de celui du milieu ; celui de la pyramide est un carré portant un triangle sur chacun de ses quatre côtés. Un tronc de cône est un cône coupé : son patron latéral est donc le secteur de ce cône privé du secteur de la pointe, une partie de couronne circulaire.