Spiegazione

Sviluppi di solidi

Il cubo ha esattamente 11 sviluppi distinti. Ci sono 35 modi di unire sei quadrati lato a lato, ma solo 11 si ripiegano formando un cubo, contando come lo stesso sviluppo le figure che coincidono dopo una rotazione o un ribaltamento. In questa pagina gli 11 si aprono uno alla volta a partire dal solido e, quando la serie completa è sullo schermo, la sequenza ricomincia.

Le facce sono colorate e, dal pannello Visualizzazione, si può anche scrivere un numero su ciascuna. Il colore è deciso da quale faccia finisce sotto quando il cubo rotola sulla casella successiva, così ogni sviluppo mostra i sei colori esattamente una volta e si vede quali colori restano opposti. Gli sviluppi si raggruppano per la lunghezza della striscia centrale: sei sono di tipo 1-4-1, una striscia di quattro con un quadrato per lato; tre sono di tipo 2-3-1; la scala 2-2-2 e il 3-3 compaiono una volta ciascuno.

Dal pannello Solido si passa al tetraedro regolare o all'ottaedro regolare. Il tetraedro ha due sviluppi, l'ottaedro ne ha undici, quanti il cubo. I numeri coincidono perché cubo e ottaedro sono duali e le loro facce si collegano secondo lo stesso schema. L'angolo di piegatura cambia con il solido: 90 gradi per il cubo, circa 109,47 per il tetraedro e circa 70,53 per l'ottaedro, ogni volta il supplementare dell'angolo diedro di quel solido.

Nell'elenco ci sono anche il dodecaedro regolare e l'icosaedro regolare. Ciascuno ha 43380 sviluppi, troppi per affiancarli, perciò di ognuno se ne usa una sola forma nota: due rosette formate da un pentagono centrale circondato da cinque petali per il dodecaedro, e una striscia di dieci triangoli equilateri con una calotta di cinque a ciascuna estremità per l'icosaedro. I numeri coincidono perché anche questi due sono duali. L'angolo di piegatura è di circa 63,43 gradi per il dodecaedro e di circa 41,81 per l'icosaedro.

Tagliando gli angoli di un solido regolare si ottiene un solido archimedeo. Il taglio si mette dove la faccia scoperta risulta un poligono regolare: a un terzo di ogni spigolo per i solidi con facce triangolari, a 1/(2+√2) per il cubo e a 1/(2+φ) per il dodecaedro regolare. Dal tetraedro escono 4 triangoli e 4 esagoni, dal cubo 8 triangoli e 6 ottagoni, dall'ottaedro 6 quadrati e 8 esagoni, dal dodecaedro 20 triangoli e 12 decagoni e dall'icosaedro 12 pentagoni e 20 esagoni. Quest'ultimo è il pallone da calcio. Lungo gli spigoli dove due facce originali continuano a incontrarsi, l'angolo di piegatura del solido di partenza si conserva.

L'elenco va oltre i solidi regolari. Il cubottaedro e l'icosidodecaedro sono solidi semiregolari: si ottengono tagliando gli angoli di un solido regolare nei punti medi dei suoi spigoli. Ogni spigolo è la cucitura fra le stesse due specie di faccia, quindi c'è un solo angolo di piegatura. Il dodecaedro rombico e il triacontaedro rombico sono i loro duali, e tutte le loro facce sono rombi congruenti. Il dodecaedro rombico riempie perfino lo spazio senza lasciare vuoti: è la forma di un cristallo di granato e quella del fondo di una cella del favo. L'angolo di piegatura è di circa 54,74 gradi per il cubottaedro, circa 37,38 per l'icosidodecaedro, esattamente 60 per il dodecaedro rombico ed esattamente 36 per il triacontaedro rombico.

Nell'elenco ci sono anche il cilindro e il cono. Lo sviluppo del cilindro è un rettangolo largo quanto la circonferenza di base e alto quanto il cilindro, con un cerchio tangente in alto e uno in basso. Quello del cono è un settore e un cerchio, e l'angolo al centro del settore è 2π per il raggio di base diviso l'apotema, quindi un raggio pari a metà dell'apotema dà un semicerchio. Le superfici laterali non sono piane, perciò vengono divise in strisce e settori sottili e arrotolate poco per volta. Il pannello Visualizzazione regola la velocità di apertura.

Ci sono anche il prisma triangolare, la piramide a base quadrata e il tronco di cono. Lo sviluppo del prisma è una striscia di tre rettangoli, con un triangolo sopra e uno sotto quello centrale; quello della piramide è un quadrato con un triangolo su ciascuno dei quattro lati. Il tronco di cono è un cono tagliato, quindi il suo sviluppo laterale è il settore di quel cono privato del settore della punta, una parte di corona circolare.