等差数列の一般項と和の求め方

初項と公差から、等差数列の第 n 項 a + (n−1)d と、初項から第 n 項までの和を求めます。

解説

等差数列は、となり合う項の差がいつも同じ数列です。その差を公差といいます。初項と公差と項番号から、第 $n$ 項と、そこまでの和を求めます。

a_n = a + (n-1)d

S_n = \dfrac{n(a + a_n)}{2}

公差を足す回数は $n$ 回ではなく $n - 1$ 回です。初項にはすでに立っているので、第 $n$ 項までに進むのは $n - 1$ 歩ぶんだけだからです。ここを取りちがえる間違いがよくあります。

例

初項 $a = 3$ 、公差 $d = 4$ 、 $n = 10$ とします。数列は 3、7、11、15、… と続きます。

a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 4 = 3 + 36 = 39

S_{10} = \dfrac{10 \times (3 + 39)}{2} = \dfrac{420}{2} = 210

第 10 項は 39、初項から第 10 項までの和は 210 です。