ベイズの定理の求め方

ベイズの定理は、新しい情報を得たときに確率を更新する式です。もっとも有名な使い道は、検査で陽性だったときに本当に病気である確率を求めることです。

• $P(A)$ — 事前確率。検査を受ける前の、病気である確率（有病率）
• $P(B \mid A)$ — 病気の人が陽性になる確率（感度）
• $P(B \mid \bar{A})$ — 病気でない人が陽性になる確率（偽陽性率）

分母は「陽性になる人の全体」で、病気で陽性の人と、健康なのに陽性の人を足したものです。

例

有病率 1%（$P(A) = 0.01$）、感度 99%、偽陽性率 5% の検査で陽性が出たとします。

陽性でも、本当に病気である確率は わずか 16.7% です。

なぜこんなに低いのか

1 万人で考えると分かります。病気の人は 100 人で、そのうち 99 人が陽性になります。一方、健康な 9900 人のうち 5% にあたる 495 人も陽性になります。

陽性者は合計 594 人。そのうち本当の病気は 99 人だけ。$99 \div 594 = 16.7\%$ です。

もともと病気の人が少ないので、健康な人の偽陽性のほうが数で勝ってしまう のです。精度の高い検査でも、まれな病気のスクリーニングでは陽性の多くが偽陽性になります。これを基準率の錯誤といいます。