二項分布の平均と分散の求め方

確率 p で起きることを n 回試すとき、起きる回数の平均は np、分散は np(1−p) です。標準偏差はその平方根で、結果がどれくらいばらつくかを表します。

解説

確率 $p$ で起きることを $n$ 回試すとき、起きる回数 $X$ の平均と分散です。

E[X] = np \qquad V[X] = np(1-p) \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}

平均は直感どおりで、100 回投げて表が出る確率が 0.5 なら、平均 50 回です。分散はそこからどれくらいばらつくかを表します。

例

コインを 100 回投げます（ $n = 100$ 、 $p = 0.5$ ）。

E[X] = 100 \times 0.5 = 50

V[X] = 100 \times 0.5 \times 0.5 = 25 \qquad \sigma = \sqrt{25} = 5

平均 50 回、標準偏差 5 回です。

$n$ が大きいので正規分布で近似できます。表の回数はおよそ 95% の確率で $50 \pm 2\sigma$ 、つまり 40 回から 60 回のあいだ に収まります。

70 回も表が出たら、平均から標準偏差 4 つ分。そんなコインは疑ってよい、という判断ができます。

$p(1-p)$ は $p = 0.5$ のとき最大の 0.25 になります。つまり 五分五分のときがいちばんばらつく ということです。

$p$ が 0 や 1 に近ければ結果はほぼ決まっているので、ばらつきは小さくなります。