カイ2乗検定（独立性）の求め方

2 行の分割表から、行と列に関係があると言えるかを調べます。期待度数を行の合計 × 列の合計 ÷ 全体で求め、χ² = Σ(観測 − 期待)² ÷ 期待を出します。自由度は列の数 − 1 です。列はいくつでもかまいません。

解説

独立性のカイ2乗検定は、分割表（クロス集計表）の行と列に関係があると言えるかを調べる方法です。「薬を飲んだかどうか」と「治ったかどうか」、「男女」と「賛成か反対か」のように、2 つの分け方に関連があるかを見ます。

行と列が無関係（独立）なら、各ますの度数は行の合計 × 列の合計 ÷ 全体の合計になるはずです。これを期待度数 $E$ とし、実際の観測度数 $O$ とのずれを集めます。

\chi^2 = \sum \dfrac{(O - E)^2}{E}

自由度は（行の数 − 1）×（列の数 − 1）です。この電卓は 2 行なので、自由度は列の数 − 1 になります。列の数はいくつでもかまいません。

例

既定値では、薬を飲んだ 50 人のうち 30 人が治って 20 人が治らず、飲まなかった 50 人のうち 15 人が治って 35 人が治らなかった、としています。1行目に 30, 20、2行目に 15, 35 と入れます。

治った人は合わせて 45 人、治らなかった人は 55 人、全体は 100 人です。1 行 1 列の期待度数は $50 \times 45 \div 100 = 22.5$ で、4 つのますの期待度数は 22.5, 27.5, 22.5, 27.5 になります。

\chi^2 = \dfrac{7.5^2}{22.5} + \dfrac{7.5^2}{27.5} + \dfrac{7.5^2}{22.5} + \dfrac{7.5^2}{27.5} \approx 9.0909

自由度は 1、上側の p 値は 0.0026 です。有意水準 5% の臨界値 3.8415 より $\chi^2$ が大きく、p 値も 0.05 より小さいので、薬と治り方には関係があると判断します。

関係があると分かっても、原因と結果までは分かりません。カイ2乗検定が言えるのは「関連がある」ところまでです。

期待度数が 5 未満のますがあると、この検定は当てになりません。2 行 2 列でそうなるときは、フィッシャーの正確確率検定を使います。2 行 2 列にイェーツの連続性補正を加える流儀もあり、その場合は $\chi^2$ が少し小さくなります。