円順列の求め方

n 人を円形に並べる場合の数 (n − 1)! を求めます。回転して同じになる並びは 1 通りと数えるので、n! ではなく (n − 1)! になります。

解説

円順列は、 $n$ 個のものを 円形に 並べる場合の数です。

(n-1)!

1 列に並べる順列は $n!$ 通りですが、円形では回転して重なる並びを同じものとみなすので、 $n$ で割って $(n-1)!$ になります。

例

5 人が円卓に座ります。

(5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

24 通りです。1 列なら $5! = 120$ 通りですが、円卓では全員が 1 つずつ横にずれても同じ並びなので、5 通りずつが重なります。 $120 \div 5 = 24$ です。

誰か 1 人の位置を固定してしまう のが確実です。1 人を基準の席に座らせてしまえば、残りの $n-1$ 人を 1 列に並べる問題になり、そのまま $(n-1)!$ 通りと分かります。

裏返して同じになる場合も同一視するなら、さらに 2 で割ります。ネックレスに $n$ 個の玉を通す並べ方（じゅず順列）は $\dfrac{(n-1)!}{2}$ 通りです（ $n \ge 3$ ）。円卓の席順は裏返せないので、この割り算はしません
席に番号がついていて「A の席」「B の席」と区別されるなら、それは円順列ではなく、ふつうの順列 $n!$ です