弓形の面積の求め方

弓形は、円を弦で切り取ってできる形です。扇形から三角形を引いて、面積を 半径² ÷ 2 × (中心角(ラジアン) − sin 中心角) で求めます。弦の長さ・弧の長さ・矢の高さもあわせて出します。

解説

弓形は、円を 1 本の弦で切り取ってできる、弓のような形です。扇形から、中心と弦が作る三角形を引くと弓形になります。

S=r22(θ−sin⁡θ)S = \dfrac{r^2}{2}(\theta - \sin\theta)

θ\theta がラジアンであることに注意してください。度で測った角 aa からは θ=a×π÷180\theta = a \times \pi \div 180 で直します。この電卓には度で入力すれば、中で直します。

弦の長さ cc、弧の長さ ℓ\ell、矢の高さ hh（弦の中点から弧までの高さ）も、同じ rr と θ\theta から求まります。

c=2rsin⁡θ2ℓ=rθh=r(1−cos⁡θ2)c = 2r\sin\dfrac{\theta}{2} \qquad \ell = r\theta \qquad h = r\left(1 - \cos\dfrac{\theta}{2}\right)

例

既定値の半径 r=6r = 6、中心角 60∘60^\circ で計算します。ラジアンに直すと θ=π3≈1.0472\theta = \dfrac{\pi}{3} \approx 1.0472 です。

S=622(1.0472−sin⁡1.0472)=18×(1.0472−0.8660)≈3.2611S = \dfrac{6^2}{2}(1.0472 - \sin 1.0472) = 18 \times (1.0472 - 0.8660) \approx 3.2611

弦は 2×6×sin⁡30∘=62 \times 6 \times \sin 30^\circ = 6、弧は 6×1.0472≈6.28326 \times 1.0472 \approx 6.2832、矢の高さは 6×(1−cos⁡30∘)≈0.80386 \times (1 - \cos 30^\circ) \approx 0.8038 です。

使いどころ

横倒しのタンクにたまった液体の断面積、丸太から切り出せる板、アーチ橋の断面など、円を直線で切った形を扱う場面で使います。

注意

扇形と混同しないでください。扇形は中心から切り出したケーキ形で、面積は r2θ2\dfrac{r^2\theta}{2} です。弓形はそこから三角形 r2sin⁡θ2\dfrac{r^2\sin\theta}{2} を引いたものです。中心角が 180∘180^\circ なら半円、360∘360^\circ なら円全体になります。