組み合わせ nCr の求め方

n 個から r 個を選ぶ場合の数 nCr = nPr ÷ r! を求めます。並べる順番は区別しません。

解説

組み合わせは、 $n$ 個のものから $r$ 個を 選ぶだけ の場合の数です。順番は区別しません。

_nC_r = \dfrac{_nP_r}{r!} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}

並べる場合の数（順列）を、同じ $r$ 個の並べ替え $r!$ で割ったものです。

例

5 人から 3 人の委員を選びます。誰が委員長というわけでもないので、順番は関係ありません。

_5C_3 = \dfrac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{60}{6} = 10

10 通りです。順列の 60 通りを、3 人の並べ替え $3! = 6$ 通りで割った形になっています。

くじ引き、宝くじ、カードの手札、アンケートの選択肢の組み合わせなど「選ぶだけ」の数え上げに使います。二項定理 $(a+b)^n$ の展開に出てくる係数（二項係数）でもあり、確率の計算では二項分布の中に現れます。