条件付き確率の求め方

条件付き確率 $P(A \mid B)$ は、「$B$ が起きた」と分かっているときに、$A$ も起きている確率です。

$P(A \cap B)$ は $A$ と $B$ が どちらも 起きる確率です。

考え方は簡単で、世界を $B$ の中だけに狭める ということです。$B$ が起きた世界を新しい全体（分母）として、そのうち $A$ も起きている割合を測ります。

例

$P(A \cap B) = 0.2$、$P(B) = 0.5$ のとき、

$B$ が起きた場合に限れば、$A$ が起きる確率は 40% です。もとの $A$ の確率がいくつであれ、$B$ という情報を得たことで確率が更新されました。

独立との関係

$P(A \mid B) = P(A)$ が成り立つとき、$A$ と $B$ は 独立 といいます。$B$ の情報が $A$ の確率を変えないという意味です。

このとき $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ となり、確率をそのまま掛け算できます。逆にいえば、独立でないのに掛け算するのは間違いです。

注意

• $P(B) = 0$ のときは定義できません（起きなかったことを条件にはできません）
• $P(A \mid B)$ と $P(B \mid A)$ は まったく別のもの です。「病気の人が陽性になる確率」と「陽性の人が病気である確率」がぜんぜん違うのは、この混同がよく起きる例です