円錐の表面積と母線の求め方

母線を √(半径² + 高さ²) で求め、側面積を π × 半径 × 母線、表面積を π × 半径 × (半径 + 母線) で求めます。

解説

円錐の表面は、開くと扇形になる側面と、円の底面からできています。計算にはまず母線の長さが必要です。母線は、頂点と底面の縁を結ぶ斜めの線で、半径と高さから三平方の定理で求まります。

\ell = \sqrt{r^2 + h^2}

母線が分かれば、側面積 $A$ と表面積 $S$ は次のようになります。

A = \pi r \ell \qquad S = \pi r (r + \ell)

$\ell$ … 母線の長さ
$A$ … 側面積
$S$ … 表面積（側面と底面の合計）
$r$ … 底面の半径
$h$ … 高さ

例

既定値の半径 $r = 3$ 、高さ $h = 4$ で計算します。

母線 $\ell = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$
側面積 $A = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi \approx 47.1239$
表面積 $S = \pi \times 3 \times (3 + 5) = 24\pi \approx 75.3982$

底面の円の面積 $9\pi$ を側面積 $15\pi$ に足すと $24\pi$ となり、表面積と一致します。

注意

高さと母線は違います。 この電卓が入力に使うのは高さ（底面に垂直な長さ）で、母線はそこから計算します。母線はつねに高さより長くなります。側面を開くと半径 $\ell$ の扇形になり、その弧の長さは底面の円周 $2\pi r$ と等しくなります。扇形の面積は「弧の長さ × 半径 ÷ 2」なので、 $\dfrac{1}{2} \times 2\pi r \times \ell = \pi r \ell$ となり、側面積の式が出てきます。半径と高さはどちらも正の数にしてください。