母平均の信頼区間の求め方

標本平均から母平均の信頼区間を標本平均 ± z × 母標準偏差 ÷ √n で求めます。母標準偏差が分かっている場合の式です。信頼水準 95% なら z は約 1.96 です。

解説

標本から得た平均をもとに、母集団の平均がどのあたりにあるか を範囲で示すのが信頼区間です。

\bar{x} \pm z \times \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ を 標準誤差 といい、標本平均そのもののばらつきを表します。 $z$ をかけた $z \times \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ が誤差の限界です。

例

標本平均 50、母標準偏差 10、標本の大きさ 100、信頼水準 95% とします。

50 \pm 1.96 \times \dfrac{10}{\sqrt{100}} = 50 \pm 1.96 \times 1 = 50 \pm 1.96

95% 信頼区間は 48.04 から 51.96 です。

「母平均が 48.04 から 51.96 に入る確率が 95%」という言い方は、厳密には正しくありません。母平均は動かない 1 つの値で、確率を持たないからです。

正しくは、同じ調査を何度も繰り返せば、そうやって作った区間の 95% が母平均を含む という意味です。

標準誤差は $\sqrt{n}$ に反比例します。区間の幅を半分にしたければ、標本を 4 倍 に増やす必要があります。精度を上げるコストは、思ったより高くつきます。

この式は母標準偏差が分かっている場合のものです。分からない場合は、標本標準偏差と t 分布を使います。