母比率の信頼区間の求め方

標本比率から母比率の信頼区間を p̂ ± z × √(p̂(1 − p̂) ÷ n) で求めます。世論調査の「支持率 40%（誤差 ±3%）」のような幅を出す式です。

解説

アンケートで得た比率（支持率など）から、母集団全体での比率がどのあたりか を範囲で示します。世論調査で見る「誤差 $\pm$ 3%」は、この計算の結果です。

\hat{p} \pm z \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}

例

1000 人に聞いて 40% が支持（ $\hat{p} = 0.4$ 、 $n = 1000$ ）、信頼水準 95% とします。

\sqrt{\dfrac{0.4 \times 0.6}{1000}} = \sqrt{0.00024} = 0.01549

0.4 \pm 1.96 \times 0.01549 = 0.4 \pm 0.0304

95% 信頼区間は 36.96% から 43.04%、つまり「支持率 40%、誤差 $\pm$ 3.0%」です。

必要な人数は、母集団の大きさにほとんどよりません。 1 億人の国でも 10 万人の町でも、1000 人聞けば誤差はだいたい $\pm$ 3% です。「たった 1000 人で国全体が分かるのか」という疑問への答えがこれです。

誤差が最大になるのは $\hat{p} = 0.5$ のときです。だから調査会社は、支持率が何%であっても「 $n = 1000$ なら最大でも $\pm$ 3.1%」と保守的に言えます。

$n\hat{p}$ と $n(1-\hat{p})$ がどちらも 5 以上でないと、正規近似が使えません。支持率が極端に低い（1% など）ときは、この式は当てになりません
この誤差は 偶然のばらつきだけ を表します。質問の仕方の偏りや、回答しなかった人の偏りは含みません。実際の調査では、そちらのほうが大きい問題になることもよくあります