共分散の求め方

共分散を Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ 個数で求めます。正なら「x が大きいとき y も大きい」、負なら逆向きの関係です。x と y は同じ個数だけ並べます。

解説

共分散は、2 つの変数が 一緒に動くかどうか を表す値です。 $x$ の偏差と $y$ の偏差をかけて、平均をとります。

s_{xy} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

符号に意味があります。

例

$x$ が 1, 2, 3, 4, 5、 $y$ が 2, 4, 5, 4, 5 のとき、 $\bar{x} = 3$ 、 $\bar{y} = 4$ です。偏差の積を並べます。

$(1-3)(2-4) = (-2)(-2) = 4$
$(2-3)(4-4) = (-1)(0) = 0$
$(3-3)(5-4) = (0)(1) = 0$
$(4-3)(4-4) = (1)(0) = 0$
$(5-3)(5-4) = (2)(1) = 2$

s_{xy} = \dfrac{4 + 0 + 0 + 0 + 2}{5} = \dfrac{6}{5} = 1.2

正の値なので、 $x$ が増えると $y$ も増える傾向があります。

共分散の 大きさ には意味がありません。単位が $x$ と $y$ の積になるので、cm を mm に変えただけで値が 10 倍になってしまいます。

「関係の強さ」を測りたいなら、共分散を両者の標準偏差で割って単位を消した 相関係数 を使ってください。共分散は相関係数を作るための材料だと考えるのが実用的です。