楕円の面積の求め方と周の長さの近似

楕円は、円を一方向に引き伸ばした形です。中心から最も遠い点までの距離を長半径 $a$、最も近い点までの距離を短半径 $b$ といいます。面積は、この 2 つを掛けて $\pi$ を掛けるだけで求まります。

• $S$ … 面積
• $a$ … 長半径（長い方の半径）
• $b$ … 短半径（短い方の半径）

$a = b$ のとき楕円は円になり、この式は円の面積 $\pi r^2$ と一致します。

例

既定値の長半径 $a = 5$、短半径 $b = 3$ で計算します。

面積はおよそ 47.1239 です。周の長さは、ラマヌジャンの近似式

を使います。$3(a + b) = 24$、$(3a + b)(a + 3b) = 18 \times 14 = 252$ なので、$L \approx \pi (24 - \sqrt{252}) \approx 25.5270$ となります。

注意

面積の式は厳密ですが、周の長さには初等的な厳密公式がありません。楕円の周は楕円積分で表され、有限個の四則演算と平方根では書けないのです。この電卓が出す周の長さは、上のラマヌジャンの近似式による値で、$a$ と $b$ の差が極端でない範囲では誤差はごくわずかです。長半径と短半径はどちらも正の数にしてください。なお、2 つを入れ替えても面積と周の長さは同じ値になります。