正三角形の面積の求め方と公式

正三角形の面積を (√3 ÷ 4) × 一辺² で求めます。高さは (√3 ÷ 2) × 一辺 です。

解説

正三角形は、3 つの辺の長さが等しく、3 つの角がすべて 60 度の三角形です。一辺の長さが決まれば形も大きさも決まるので、面積も高さも一辺だけから求められます。

S=34a2h=32aS = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 \qquad h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} a

例

既定値の一辺 a=6a = 6 で計算します。まず高さは

h=32×6=33≈5.1962h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3} \approx 5.1962

となり、面積は

S=34×62=93≈15.5885S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = 9\sqrt{3} \approx 15.5885

です。

なぜこの式になるのか

頂点から底辺へ垂線を下ろすと、底辺は半分に分かれ、斜辺が aa、他の 2 辺が a2\dfrac{a}{2} と hh の直角三角形ができます。三平方の定理から h2=a2−a24=3a24h^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4} となり、h=32ah = \dfrac{\sqrt{3}}{2} a が出ます。これを三角形の面積の公式 S=12ahS = \dfrac{1}{2} a h に入れると、S=34a2S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 になります。

注意

高さは一辺よりかならず短く、32≈0.8660\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660 倍です。高さの代わりに一辺をそのまま使うと、面積が大きく出てしまいます。また、面積は一辺の 2 乗に比例するので、一辺を 2 倍にすると面積は 4 倍になります。一辺は正の数にしてください。