期待値の求め方

期待値を Σ(値 × その確率) で求めます。分散と標準偏差もあわせて出します。確率の合計は 1 にしてください。

解説

期待値は、確率つきの値の平均です。それぞれの値に、その値が出る確率をかけて、全部足します。

E[X]=∑ixi pi=x1p1+x2p2+⋯+xnpnE[X] = \sum_{i} x_i \, p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n

同じ試行を何度も繰り返したときの、1 回あたりの平均だと考えてください。分散と標準偏差も同時に求まります。

V[X]=∑ipi(xi−E[X])2V[X] = \sum_{i} p_i (x_i - E[X])^2

例

少し歪んだサイコロで、1 と 2 が出る確率が 0.1、3 から 6 が出る確率が 0.2 だとします。

E[X]=1(0.1)+2(0.1)+3(0.2)+4(0.2)+5(0.2)+6(0.2)=0.1+0.2+0.6+0.8+1.0+1.2=3.9E[X] = 1(0.1) + 2(0.1) + 3(0.2) + 4(0.2) + 5(0.2) + 6(0.2) = 0.1 + 0.2 + 0.6 + 0.8 + 1.0 + 1.2 = 3.9

期待値は 3.9 です。分散は 2.49、標準偏差は 2.49=1.578\sqrt{2.49} = 1.578 になります。

ふつうのサイコロなら期待値は 3.5 ですから、このサイコロは大きい目が出やすいということです。

注意