円錐台の表面積の求め方

母線を √((下面の半径 − 上面の半径)² + 高さ²) で求め、側面積を π × (上面の半径 + 下面の半径) × 母線 で求めます。表面積は、それに上下 2 つの円の面積を足したものです。

解説

円錐台の側面を切り開くと、大きい扇形から小さい扇形を抜いた帯になります。表面積を求めるには、まず斜面の長さである母線 ℓ\ell を三平方の定理で出します。

ℓ=(b−a)2+h2\ell = \sqrt{(b - a)^2 + h^2}

b−ab - a は上から見たときの縁のずれで、これと高さが直角三角形の 2 辺になります。側面積は π(a+b)ℓ\pi (a + b) \ell、表面積はそれに上下 2 つの円を足したものです。

S=π(a+b)ℓ+πa2+πb2S = \pi (a + b) \ell + \pi a^2 + \pi b^2

例

既定値の上面の半径 a=3a = 3、下面の半径 b=5b = 5、高さ h=4h = 4 で計算します。

ℓ=(5−3)2+42=20≈4.4721\ell = \sqrt{(5 - 3)^2 + 4^2} = \sqrt{20} \approx 4.4721

側面積は π×(3+5)×4.4721≈112.3970\pi \times (3 + 5) \times 4.4721 \approx 112.3970、上下の円は π×32≈28.2743\pi \times 3^2 \approx 28.2743 と π×52≈78.5398\pi \times 5^2 \approx 78.5398 です。足すと、表面積は約 219.2112 になります。

注意

母線と高さを取り違えないでください。高さは上面と下面のまっすぐな距離、母線は斜面に沿った長さで、いつも 母線 > 高さ です。体積の式に使うのは高さ、側面積の式に使うのは母線です。

バケツのように上が開いた入れ物で、外側を塗る面積が知りたいときは、表面積から上面の円 πa2\pi a^2 を引きます。