等比数列の一般項と和の求め方

初項と公比から、等比数列の第 n 項 ar^(n−1) と、初項から第 n 項までの和を求めます。

解説

等比数列は、となり合う項の比がいつも同じ数列です。その比を公比といいます。初項と公比と項番号から、第 $n$ 項と、そこまでの和を求めます。

a_n = a r^{n-1}

S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1)

指数が $n$ ではなく $n - 1$ であることに注意します。第 1 項では $r^0 = 1$ となり、初項がそのまま出てくる、という具合に辻褄が合います。

例

初項 $a = 2$ 、公比 $r = 3$ 、 $n = 5$ とします。数列は 2、6、18、54、162 です。

a_5 = 2 \times 3^{5-1} = 2 \times 81 = 162

S_5 = \dfrac{2 \times (1 - 3^5)}{1 - 3} = \dfrac{2 \times (-242)}{-2} = 242

第 5 項は 162、和は 242 です。実際に $2 + 6 + 18 + 54 + 162$ を足しても 242 になります。

$n$ は 1 以上の整数です
$r = 1$ のときは和の公式の分母が 0 になり、そのままでは使えません。このときは全項が初項と同じなので、和は $S_n = an$ です。電卓はこの場合を分けて計算しています
公比が負だと、項の符号が 1 つおきに入れかわります
$|r| < 1$ なら項はだんだん 0 に近づき、 $n$ を限りなく大きくしたときの和は $\dfrac{a}{1 - r}$ に収束します。これが無限等比級数です
公比が 1 より大きいと第 $n$ 項はきわめて速く増えます。 $n$ を大きくするときは値の桁数に注意します