ヘロンの公式による三角形の面積の求め方

三辺の長さから、ヘロンの公式 √(s(s−a)(s−b)(s−c)) で三角形の面積を求めます。s は半周長。

解説

ヘロンの公式は、三辺の長さだけから三角形の面積を求める公式です。角度も高さも要りません。測量のように、辺の長さしか測れない場面で活躍します。

S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad s = \dfrac{a+b+c}{2}

まず半周長 $s$ を出し、そこから各辺を引いた 3 つの値を $s$ と掛け合わせて、最後に平方根を取ります。

例

$a = 3$ 、 $b = 4$ 、 $c = 5$ とします。半周長は $s = \dfrac{3 + 4 + 5}{2} = 6$ です。

S = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6

面積は 6 です。3、4、5 は直角三角形なので、 $\dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ とも一致することが確かめられます。

三辺が三角不等式を満たさないと三角形が作れません。どの 2 辺の和も残りの 1 辺より大きい、という条件です。満たさないときはエラーになります
三角不等式が成り立つとき、 $s - a$ 、 $s - b$ 、 $s - c$ はすべて正になります。たとえば $s - a = \dfrac{b + c - a}{2}$ で、 $b + c > a$ なら正です。だから根号の中も正になり、面積がきちんと実数として求まります
辺の単位が cm なら面積は cm²、m なら m² です。単位はそろえて入力します
三辺が決まれば三角形の形も大きさも 1 通りに決まるため（三辺相等）、面積も 1 つに定まります