余弦定理による三角形の角の求め方

三辺の長さから、余弦定理 cos A = (b² + c² − a²) ÷ 2bc で 3 つの角 (度) を求めます。

解説

三辺の長さがすべて分かっている三角形について、3 つの角の大きさを求めます。余弦定理を $\cos$ について解いた形を使い、逆余弦で角の大きさに戻します。

\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

$a$ 、 $b$ 、 $c$ — 三角形の三辺の長さ
$A$ — 辺 $a$ と向かい合う角。同じ形の $\cos B = \dfrac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$ から角 $B$ も求まります
3 つ目の角は、内角の和が $180^\circ$ であることから $C = 180^\circ - A - B$ で出せます

分子は「求めたい角の対辺だけを引く」形です。どの辺を引くかを取りちがえると、別の角の値が出てしまいます。

例

$a = 5$ 、 $b = 6$ 、 $c = 7$ とします。

\cos A = \dfrac{6^2 + 7^2 - 5^2}{2 \times 6 \times 7} = \dfrac{60}{84} = \dfrac{5}{7}

なので $A \approx 44.4153^\circ$ です。同じように $\cos B = \dfrac{38}{70} = \dfrac{19}{35}$ から $B \approx 57.1217^\circ$ 、残りは $C \approx 78.4630^\circ$ となります。3 つを足すとちょうど $180^\circ$ です。

注意

三辺は正の数で、かつ三角不等式を満たす必要があります。どの 2 辺の和も残りの 1 辺より大きい、という条件を 3 通りすべてで確かめます。上の例なら $5 + 6 > 7$ です。満たさない長さの組では三角形が作れず、エラーになります
$\cos A$ が負になったら、その角は鈍角です。三角形の鈍角はたかだか 1 つです
最も長い辺と向かい合う角が最大になります。上の例では最長の $c = 7$ の対角 $C$ が最大です
三辺が決まれば三角形は 1 通りに決まるので（三辺相等）、角も 1 通りに定まります