対数の計算のしかたと底の変換

対数は「底を何乗すると真数になるか」を表す数です。$\log_b x = y$ と $b^y = x$ はまったく同じことを言っており、対数は累乗の逆にあたります。

任意の底の対数は、底の変換公式で自然対数の比として計算できます。この電卓も内部でこの式を使っています。

• $x$ — 真数。正の数でなければなりません
• $b$ — 底。正の数で、かつ 1 以外です
• $\log_{10} x$ — 常用対数（底 10）
• $\ln x$ — 自然対数（底 $e \approx 2.71828$）

例

真数 $x = 8$、底 $b = 2$ とします。2 を 3 乗すると 8 になるので

です。底の変換公式でも $\dfrac{\ln 8}{\ln 2} = \dfrac{2.0794}{0.6931} = 3$ となり、同じ値が出ます。あわせて常用対数は $\log_{10} 8 \approx 0.9031$、自然対数は $\ln 8 \approx 2.0794$ です。

注意

• 真数 $x$ は必ず正です。正の数を何乗しても 0 や負にはならないため、0 以下の対数は実数の範囲では定まりません。電卓もエラーを返します
• 底 $b$ は正で、1 以外にします。1 は何乗しても 1 のままで、ほかの真数を作れないためです
• $\log_b 1 = 0$ と $\log_b b = 1$ は、どの底でも成り立ちます
• $0 < x < 1$ で底が 1 より大きいとき、対数は負になります。$\log_{10} 0.01 = -2$ です
• 対数は掛け算を足し算に変えます。$\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y$ が成り立ちます