2 行 2 列の行列式と逆行列の求め方

行列 [[a, b], [c, d]] の行列式を ad − bc で求め、逆行列の 4 つの成分を出します。行列式が 0 のときは逆行列がありません。

解説

2 行 2 列の行列は、行列式も逆行列も短い式で書けます。行列式は「たすき掛けの差」、逆行列はそれで割った形です。

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad \det A = ad - bc

A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

逆行列の作り方は、対角の $a$ と $d$ を入れかえ、 $b$ と $c$ の符号を変えて、全体を行列式で割る、と覚えられます。

例

$a = 4$ 、 $b = 7$ 、 $c = 2$ 、 $d = 6$ とします。行列式は

\det A = 4 \times 6 - 7 \times 2 = 24 - 14 = 10

0 ではないので逆行列があります。

A^{-1} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}

行列式が 0 のときは逆行列がありません。式の分母が 0 になってしまうためです。電卓もエラーを返します
行列式が 0 になるのは、2 つの行（または 2 つの列）が平行なとき、つまり一方が他方の定数倍になっているときです
行列式の絶対値は、2 つの行ベクトルが張る平行四辺形の面積を表します。0 は、その平行四辺形が線分につぶれてしまった状態です
検算は $A$ と $A^{-1}$ を掛けて、単位行列 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ になるかを見ます