同じものを含む順列の求め方

同じものを含む n 個を 1 列に並べる場合の数 n! ÷ (a! × b! × …) を求めます。個数をカンマ区切りで並べます（「aaabbc」なら 3, 2, 1）。

解説

同じものが混ざっている $n$ 個を 1 列に並べる場合の数です。全体の階乗を、同じもののグループごとの階乗で割ります。

\dfrac{n!}{a!\, b!\, c! \cdots}

$a, b, c, \ldots$ は、それぞれ同じものの個数です。合計すると $n$ になります。

例

「aaabbc」の 6 文字を並べ替えます。a が 3 個、b が 2 個、c が 1 個なので、個数として 3, 2, 1 を入力します。

\dfrac{6!}{3!\,2!\,1!} = \dfrac{720}{6 \times 2 \times 1} = \dfrac{720}{12} = 60

60 通りです。

6 文字すべてが違うものなら $6! = 720$ 通りです。しかし 3 個の a は互いに区別できません。a どうしを入れ替えた $3! = 6$ 通りは、見た目がまったく同じ並びになります。

同じように b どうしの入れ替え $2! = 2$ 通りも重複します。だから $3! \times 2! \times 1! = 12$ で割るのです。

文字の並べ替え（「MISSISSIPPI」の並べ方など）
最短経路の数え上げ。碁盤の目の道を右に 3 回、上に 2 回進む道順は、R R R U U の並べ方なので $\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10$ 通り
コインの表裏の出方のパターン数

組み合わせ $_nC_r$ は、これの特別な場合（2 種類しかない場合）です。