正規分布の区間確率の求め方

正規分布で、値が下限と上限のあいだに入る確率を Φ((上限 − 平均) ÷ σ) − Φ((下限 − 平均) ÷ σ) で求めます。平均 ± 標準偏差の範囲なら約 68.27% です。

解説

正規分布で、値が $a$ 以上 $b$ 以下になる確率です。上限までの確率から、下限までの確率を引きます。

P(a \le X \le b) = \Phi\left(\dfrac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\dfrac{a - \mu}{\sigma}\right)

$\Phi$ は標準正規分布の下側確率です。

例

平均 60、標準偏差 10 のテストで、50 点から 70 点のあいだに入る人の割合を求めます。

z_{\text{下}} = \dfrac{50 - 60}{10} = -1 \qquad z_{\text{上}} = \dfrac{70 - 60}{10} = 1

P(50 \le X \le 70) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6827

68.27% です。これは「平均 $\pm$ 標準偏差 1 つ分」の範囲なので、正規分布の有名な 68% がそのまま出てきました。

製造業の「シックスシグマ」は、規格の幅が標準偏差 6 つ分あることを指し、不良がきわめて出にくい状態を意味します。