正規分布の確率の求め方

平均と標準偏差が分かっている正規分布で、ある値以下になる確率を求めます。まず z = (x − 平均) ÷ 標準偏差で標準化し、標準正規分布の下側確率を返します。

解説

平均 $\mu$ 、標準偏差 $\sigma$ の正規分布で、値が $x$ 以下になる確率を求めます。

まず標準化します。

z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}

この $z$ に対して、標準正規分布（平均 0、標準偏差 1）の下側確率 $\Phi(z) = P(Z \le z)$ を求めます。

例

平均 60、標準偏差 10 のテストで、75 点以下の人の割合を求めます。

z = \dfrac{75 - 60}{10} = 1.5

P(X \le 75) = \Phi(1.5) = 0.9332

93.32% の人が 75 点以下、つまり 75 点を超えるのは上位 6.68% です。

正規分布では、平均から標準偏差いくつぶんかで、確率がだいたい決まっています。

信頼区間でよく使う 95% は、正確には $\pm 1.96\sigma$ の範囲です。