順列 nPr の求め方

n 個から r 個を選んで並べる場合の数 nPr = n × (n−1) × … × (n−r+1) を求めます。並べる順番を区別します。

解説

順列は、 $n$ 個のものから $r$ 個を選んで 1 列に並べる 場合の数です。順番を区別して数えます。

_nP_r = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1) = \dfrac{n!}{(n-r)!}

$r$ 個ぶんの掛け算です。1 番目は $n$ 通り、2 番目は残りの $n-1$ 通り、と 1 つずつ減っていきます。

例

5 人から 3 人を選んで、1 位・2 位・3 位を決めます。

_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60

1 位が 5 通り、そのそれぞれに対して 2 位が残り 4 通り、3 位が残り 3 通りなので、 $5 \times 4 \times 3 = 60$ 通りです。

順番を区別するかどうか が唯一の違いです。

順列は組み合わせの $r!$ 倍になります。同じ $r$ 個の選び方に対して、並べ方が $r!$ 通りあるからです。

_nC_r = \dfrac{_nP_r}{r!}

順位・席順・暗証番号のように 並びに意味がある なら順列、選ぶだけなら組み合わせです。