二次方程式の解の公式と判別式の使い方

$ax^2 + bx + c = 0$ の形の二次方程式を、解の公式で解きます。係数を 3 つ入れるだけで、実数解が求まります。

根号の中の $D = b^2 - 4ac$ を判別式といい、これだけで実数解の個数が分かります。

• $D > 0$ — 異なる 2 つの実数解
• $D = 0$ — 重解（2 つの解が重なって 1 つ）
• $D < 0$ — 実数解はなし（放物線が $x$ 軸と交わらない）

例

$a = 1$、$b = -5$、$c = 6$、つまり $x^2 - 5x + 6 = 0$ を解きます。判別式は

正なので実数解が 2 つあります。

より $x_1 = 3$、$x_2 = 2$ です。$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ と因数分解できることからも確かめられます。

注意

• $b$ が負のとき $-b$ は正になります。上の例では $-(-5) = 5$ です。ここの符号の取りちがえが、いちばん多い間違いです
• $a = 0$ だと 2 次の項が消えて二次方程式ではなくなり、分母の $2a$ も 0 になります。電卓はエラーを返します
• $D < 0$ のときは実数の範囲に解がなく、電卓はエラーを返します
• 解と係数の関係から、2 解の和は $-\dfrac{b}{a}$、積は $\dfrac{c}{a}$ です。例では和が $3 + 2 = 5$、積が $3 \times 2 = 6$ となり、たしかに合っています。検算に使えます