RC 回路の時定数の求め方

時定数を τ = RC で求めます。コンデンサの電圧が最終値の 63.2% に達するまでの時間で、5τ でほぼ充電が完了します。

解説

抵抗とコンデンサをつないで充電すると、電圧はいっきに上がらず、じわじわと近づいていきます。その速さを表すのが時定数です。

τ=RC\tau = RC

RR が Ω、CC が F なら、τ\tau の単位は秒になります。

63.2% という数字

時間 τ\tau が経つと、コンデンサの電圧は最終値の 63.2% に達します。この半端な数には理由があります。

1−1e=1−0.368=0.6321 - \dfrac{1}{e} = 1 - 0.368 = 0.632

充電の式が V(t)=V0(1−e−t/τ)V(t) = V_0 (1 - e^{-t/\tau}) という指数関数だからです。t=τt = \tau を入れると 1−e−11 - e^{-1} になります。

例

R=10R = 10 kΩ、C=100C = 100 μF のとき、

τ=10000×100×10−6=1 秒\tau = 10000 \times 100 \times 10^{-6} = 1\ \text{秒}

1 秒で 63.2%、5 秒でほぼ満充電です。

フィルタとしての顔

同じ RCRC から、カットオフ周波数も出てきます。

fc=12πRCf_c = \dfrac{1}{2\pi RC}

この周波数を境に、それより高い信号は通しにくくなります（ローパスフィルタ）。時定数が大きい回路は「反応が遅い」ので、素早い変化＝高い周波数についていけない。時間の話と周波数の話は、同じことを裏表から見ています。

使いどころ