正多角形の面積と内角の求め方

正多角形は、すべての辺の長さが等しく、すべての内角が等しい多角形です。正三角形・正方形・正六角形などがこれにあたります。辺の数 $n$ と一辺の長さ $a$ が分かれば、面積が求められます。

• $S$ … 面積
• $n$ … 辺の数（3 以上の整数）
• $a$ … 一辺の長さ

1 つの内角は $\dfrac{180^\circ (n - 2)}{n}$、周の長さは $n a$ です。

例

既定値の辺の数 $n = 6$、一辺 $a = 4$（正六角形）で計算します。$\tan 30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.5774$ なので、

内角は $\dfrac{180^\circ \times 4}{6} = 120^\circ$、周の長さは $6 \times 4 = 24$ です。

なぜこの式になるのか

正多角形の中心から各頂点へ線を引くと、合同な二等辺三角形が $n$ 個できます。三角形 1 つは、底辺が $a$、高さが中心から辺までの距離（アポテム）$\dfrac{a}{2 \tan(180^\circ / n)}$ です。この三角形の面積を $n$ 倍したものが上の式です。

注意

辺の数は 3 以上の整数です。小数や 2 以下の数を入れるとエラーになります。内角（隣り合う 2 辺がつくる角。上の例では $120^\circ$）と、中心角（中心から 1 辺を見込む角 $\dfrac{360^\circ}{n}$。上の例では $60^\circ$）は別のものなので、混同しないでください。