RLC 直列回路のインピーダンスの求め方

交流回路の抵抗にあたるインピーダンスを Z = √(R² + (X_L − X_C)²) で求めます。誘導リアクタンスと容量リアクタンス、電流と電圧の位相差もあわせて出します。

解説

交流回路では、抵抗のほかにコイルとコンデンサも電流を妨げます。その総合的な妨げをインピーダンスといい、記号 ZZ、単位は Ω です。

Z=R2+(XL−XC)2Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}
XL=2πfLXC=12πfCX_L = 2\pi f L \qquad X_C = \dfrac{1}{2\pi f C}

XLX_L は誘導リアクタンス、XCX_C は容量リアクタンスです。位相差は

φ=arctan⁡XL−XCR\varphi = \arctan \dfrac{X_L - X_C}{R}

例

R=100R = 100 Ω、L=10L = 10 mH、C=1C = 1 μF、周波数 1000 Hz とします。

XL=2π×1000×0.01=62.8 ΩXC=12π×1000×10−6=159.2 ΩX_L = 2\pi \times 1000 \times 0.01 = 62.8\ \Omega \qquad X_C = \dfrac{1}{2\pi \times 1000 \times 10^{-6}} = 159.2\ \Omega
Z=1002+(62.8−159.2)2=10000+9278=138.8 ΩZ = \sqrt{100^2 + (62.8 - 159.2)^2} = \sqrt{10000 + 9278} = 138.8\ \Omega

位相差は −43.9-43.9 度。負なので 電流が電圧より進んでいます（容量性）。

なぜ単純な足し算ではないのか

抵抗・コイル・コンデンサでは、電圧と電流の タイミング（位相）が違う からです。

コイルとコンデンサは正反対なので、XLX_L と XCX_C は打ち消し合います。そして残った (XL−XC)(X_L - X_C) と RR は 90 度ずれているので、直角三角形の 2 辺 として足すことになります。だから三平方の定理が出てくるのです。

周波数による違い

この性質の差が、フィルタ回路のすべての土台になっています。