不偏分散と標本標準偏差の求め方

手元のデータが、もっと大きな集団（母集団）から取り出した一部（標本）であるとき、そこから母集団の散らばりを推定するのに使うのが不偏分散です。

$n$ ではなく $n - 1$ で割るのがポイントです。この $n - 1$ を 自由度 といいます。

なぜ n − 1 で割るのか

偏差は標本平均 $\bar{x}$ からのずれとして計算します。標本平均は、その標本にいちばん近い位置に来るので、偏差の 2 乗和は本当の母平均から測ったときより 必ず小さめ になります。

そのまま $n$ で割ると、母集団の分散を過小評価してしまいます。$n - 1$ という少し小さい数で割ることで、ちょうど偏りが打ち消され、平均的に正しい値になります。これを不偏（偏りがない）といいます。

例

データが 10, 20, 30, 40, 50 のとき、平均は 30、偏差の 2 乗和は $400 + 100 + 0 + 100 + 400 = 1000$ です。

$n$ で割る母分散は 200、標準偏差は 14.1421 でした。不偏分散のほうが少し大きくなります。

使い分け

• 母分散（$n$ で割る） — 手元のデータがすべて。クラス全員の点数の散らばりなど
• 不偏分散（$n - 1$ で割る） — 手元のデータは標本。そこから母集団を推定したいとき

迷ったら不偏分散です。統計ソフトの既定値もほとんどが $n - 1$ です。