連立一次方程式の解き方

a₁x + b₁y = c₁、a₂x + b₂y = c₂ の解 x, y を求めます。a₁b₂ − a₂b₁ が 0 のときは解が一つに定まりません。

解説

2 つの一次方程式を同時に満たす $x$ と $y$ の組を求めます。

a_1 x + b_1 y = c_1, \quad a_2 x + b_2 y = c_2

代入法や加減法でも解けますが、クラメルの公式を使うと、係数を並べるだけで答えが書けます。

x = \dfrac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \quad y = \dfrac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}

例

$2x + 3y = 12$ と $x - y = 1$ を解きます。係数は $a_1 = 2$ 、 $b_1 = 3$ 、 $c_1 = 12$ 、 $a_2 = 1$ 、 $b_2 = -1$ 、 $c_2 = 1$ です。まず分母を計算します。

a_1 b_2 - a_2 b_1 = 2 \times (-1) - 1 \times 3 = -5

x = \dfrac{12 \times (-1) - 1 \times 3}{-5} = \dfrac{-15}{-5} = 3, \quad y = \dfrac{2 \times 1 - 1 \times 12}{-5} = \dfrac{-10}{-5} = 2

$x = 3$ 、 $y = 2$ です。元の式に戻すと $2 \times 3 + 3 \times 2 = 12$ 、 $3 - 2 = 1$ となり、両方を満たしています。