標準偏差の求め方

データの平均・分散・標準偏差を求めます。分散は Σ(x − 平均)² ÷ 個数、標準偏差はその平方根です（母集団の標準偏差）。

解説

標準偏差は、データが平均のまわりにどれくらい散らばっているかを表す値です。平均からのずれ（偏差）を 2 乗して平均し、最後に平方根をとります。

σ2=1n∑i=1n(xi−xˉ)2σ=σ2\sigma^2 = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}

σ2\sigma^2 が分散、σ\sigma が標準偏差です。2 乗するのは、プラスのずれとマイナスのずれが打ち消し合わないようにするためです。そのままだと単位が 2 乗になってしまうので、平方根をとって元の単位に戻します。

例

データが 10, 20, 30, 40, 50 のとき、平均は 30 です。平均からのずれは −20,−10,0,10,20-20, -10, 0, 10, 20 で、それぞれを 2 乗すると 400,100,0,100,400400, 100, 0, 100, 400 になります。

σ2=400+100+0+100+4005=10005=200\sigma^2 = \dfrac{400 + 100 + 0 + 100 + 400}{5} = \dfrac{1000}{5} = 200
σ=200=14.1421\sigma = \sqrt{200} = 14.1421

注意

この電卓が返すのは 母集団の標準偏差（nn で割るもの）です。手元のデータそのものの散らばりを表します。

手元のデータが、もっと大きな集団から取り出した 標本 であり、そこから元の集団の散らばりを推定したい場合は、nn ではなく n−1n - 1 で割る 不偏分散 を使います。統計の推定ではこちらが基本です。

標準偏差は平均と同じ単位を持つので、「平均 ±\pm 標準偏差」という書き方ができます。データが正規分布に近ければ、平均 ±σ\pm \sigma の範囲におよそ 68% が入ります。