2標本のt検定（対応なし）の求め方

別々に集めた 2 組のデータの平均に、ちがいがあると言えるかを調べます。方法は welch（等分散を仮定しない。ふだんはこちら）と student（等分散を仮定し、分散をプールする。教科書の式）から選びます。

解説

2標本のt検定は、別々に集めた 2 組のデータの平均に、ちがいがあると言えるかを調べる方法です。A 組と B 組の点数、旧型と新型の寿命のように、1 対 1 に組にならない（対応のない）データに使います。2 組の個数はちがっていてもかまいません。

t = \dfrac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}

$\bar{x}_1, \bar{x}_2$ … 2 つの標本平均
$s_1^2, s_2^2$ … 2 つの不偏分散
$n_1, n_2$ … それぞれのデータの個数

これは welch（ウェルチ）の方法で、2 つの母分散が等しいことを仮定しません。自由度は次の式（ウェルチ・サタスウェイトの式）で求めるので、整数になりません。

\nu = \dfrac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}

student（スチューデント）を選ぶと、2 つの母分散が等しいと仮定して、分散をプールした共通の分散を使います。自由度は $n_1 + n_2 - 2$ です。

例

既定値のデータA 12, 15, 18, 20, 25 と、データB 10, 14, 15, 17, 19 で計算します。平均は 18 と 15 で差は 3、不偏分散は 24.5 と 11.5 です。welch では $t \approx 1.1180$ 、自由度は 7.0771、両側の p 値は 0.3001 になります。有意水準 5% の臨界値は 2.3594 なので、2 つの平均にちがいがあるとは言えません。

使い分け

迷ったら welch を選びます。2 つの母分散が等しいかどうかは、ふつう分からないからです。等分散が成り立っている場合でも welch の結果はほとんど変わらないので、既定にしておいて損がありません。student は、教科書の式に合わせたいときに使います。

2 組の個数が同じときは、welch も student も $t$ は同じ値になり、自由度だけが変わります。上の例で student にすると、自由度は 8、p 値は 0.2960 です。

注意

同じ人を 2 回測った前と後のようなデータには使いません。それは対応のあるデータなので、対応のあるt検定を使います。対応を無視すると、個人差がばらつきに紛れこみ、変化を見つけにくくなります。