トーラス（ドーナツ）の表面積の求め方

トーラスの表面積を 4 × π² × 中心までの距離 × 管の半径で求めます（パップス・ギュルダンの定理）。管の断面である円の周 2πr が、中心のまわりを 2πR の道のりだけ回ってできる面積です。

解説

トーラスは、円を、その円から離れた軸のまわりに 1 回転させてできるドーナツ形です。その表面は、管の断面である円の周が、中心のまわりを 1 周してできた面と考えられます。

S = 4\pi^2 R r

$S$ … 表面積
$R$ … 中心までの距離（ドーナツの中心から管の中心まで）
$r$ … 管の半径

$R > r$ である必要があります。

パップス・ギュルダンの定理

回した曲線の長さに、その重心が動いた道のりを掛けます。管の断面である円の周は $2\pi r$ 、その重心が動く道のりは $2\pi R$ です。

S = 2\pi r \times 2\pi R = 4\pi^2 R r

体積のときは断面の面積 $\pi r^2$ を使い、表面積のときは断面の周 $2\pi r$ を使います。2 つの式のちがいは、そこだけです。

例

既定値の中心までの距離 $R = 10$ 、管の半径 $r = 3$ で計算します。

S = 4\pi^2 \times 10 \times 3 = 120\pi^2 \approx 1184.3525

おもしろい性質

表面積は $R$ と $r$ の積だけで決まります。 $R = 10, r = 3$ のトーラスと $R = 6, r = 5$ のトーラスは、どちらも $Rr = 30$ なので、表面積が同じです。ただし体積は $2\pi^2 R r^2$ で $r$ が 2 乗で効くため、管が太いほうが大きくなります。