トーラス（ドーナツ）の体積の求め方

トーラスは、円を離れた軸のまわりに 1 回転させてできるドーナツの形です。体積を 2 × π² × 中心までの距離 × 管の半径² で求めます（パップス・ギュルダンの定理）。中心までの距離は、ドーナツの中心から管の中心までの長さで、管の半径より大きくします。

解説

トーラスは、円を、その円から離れた軸のまわりに 1 回転させてできる形です。ドーナツ、浮き輪、O リングのような形をしています。

V = 2\pi^2 R r^2

$R > r$ でなければなりません。 $R$ が $r$ 以下だと、管が自分自身を突き抜けてしまい、この式は成り立ちません。

パップス・ギュルダンの定理

この式は、回した図形の面積に、その重心が動いた道のりを掛けたものです。管の断面は半径 $r$ の円で、面積は $\pi r^2$ です。その重心（円の中心）は半径 $R$ の円を回るので、動く道のりは $2\pi R$ になります。

V = \pi r^2 \times 2\pi R = 2\pi^2 R r^2

既定値の中心までの距離 $R = 10$ 、管の半径 $r = 3$ で計算します。

V = 2\pi^2 \times 10 \times 3^2 = 180\pi^2 \approx 1776.5288

$R$ は、穴の縁までではなく、管の中心までの長さです。外側から測るなら、外径（いちばん外側の直径）を $D$ 、管の直径を $d$ として、 $R = (D - d) \div 2$ 、 $r = d \div 2$ になります。穴の直径は $2(R - r)$ です。