三角形の外接円と内接円の半径の求め方

三辺の長さから、外接円の半径を abc ÷ 4S、内接円の半径を S ÷ s で求めます（S は面積、s は半周長）。

解説

三角形の 3 つの頂点をすべて通る円を外接円、3 つの辺すべてに内側から接する円を内接円といいます。三辺の長さが分かれば、面積とあわせて、この 2 つの円の半径が求められます。

まず、ヘロンの公式で面積を出します。半周長（周の長さの半分）を $s = \dfrac{a + b + c}{2}$ とすると、

S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}

面積 $S$ が出たら、外接円の半径 $R$ と内接円の半径 $r$ は次の式で求まります。

R = \dfrac{abc}{4S} \qquad r = \dfrac{S}{s}

$a$ , $b$ , $c$ … 三辺の長さ
$s$ … 半周長
$S$ … 面積

例

既定値の $a = 3$ 、 $b = 4$ 、 $c = 5$ で計算します。半周長は $s = \dfrac{3 + 4 + 5}{2} = 6$ です。

面積 $S = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$
外接円の半径 $R = \dfrac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \dfrac{60}{24} = 2.5$
内接円の半径 $r = \dfrac{6}{6} = 1$

この三角形は直角三角形なので、外接円の半径は斜辺 5 のちょうど半分になっています。

注意

三辺は三角不等式を満たす必要があります。つまり、どの 2 辺の和も、残りの 1 辺より長くなければなりません。3・4・8 のような組では三角形ができないので、エラーになります。三辺はすべて正の数にしてください。なお、内接円の半径の式 $r = \dfrac{S}{s}$ は、内心から 3 つの頂点へ線を引いて三角形を 3 分割すると、面積が $\dfrac{1}{2} r (a + b + c) = r s$ と書けることから出てきます。