ベクトルの内積となす角の求め方

2 つの平面ベクトルの内積を x₁x₂ + y₁y₂ で求め、cos θ = 内積 ÷ (|a||b|) からなす角 (度) を求めます。

解説

2 つの平面ベクトルの内積と、そのなす角を求めます。内積は成分どうしを掛けて足すだけの計算ですが、2 つのベクトルがどれだけ同じ向きを向いているかを表す量になっています。だからここから角度が取り出せます。

a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2

なす角は、内積を 2 つの大きさの積で割って求めます。

cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

例

a⃗=(3,1)\vec{a} = (3, 1)、b⃗=(1,2)\vec{b} = (1, 2) とします。内積は 3×1+1×2=53 \times 1 + 1 \times 2 = 5 です。大きさは ∣a⃗∣=10|\vec{a}| = \sqrt{10}、∣b⃗∣=5|\vec{b}| = \sqrt{5} なので

cos⁡θ=510×5=550=12\cos\theta = \dfrac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}} = \dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}

したがって θ=45∘\theta = 45^\circ です。

注意