Пояснение

Развёртки тел

У куба ровно 11 различных развёрток. Соединить шесть квадратов по сторонам можно 35 способами, но лишь 11 из них складываются в куб, причём фигуры, совпадающие после поворота или отражения, считаются одной развёрткой. На этой странице все 11 раскрываются по очереди из объёмной формы, а когда весь набор оказывается на экране, последовательность начинается заново.

Грани раскрашены, и панель отображения может напечатать на каждой номер. Цвет определяется тем, какая грань окажется внизу, когда куб перекатывается на соседний квадрат, поэтому в каждой развёртке все шесть цветов встречаются ровно по разу и видно, какие цвета окажутся напротив друг друга. Развёртки группируются по длине средней полосы: шесть относятся к типу 1-4-1, то есть полоса из четырёх квадратов с одним квадратом по каждую сторону; три — к типу 2-3-1; а лестничные 2-2-2 и 3-3 дают по одной.

В панели тела можно переключиться на правильный тетраэдр или правильный октаэдр. У тетраэдра две развёртки, у октаэдра одиннадцать, столько же, сколько у куба. Числа совпадают потому, что куб и октаэдр двойственны, и их грани соединяются по одной и той же схеме. Угол складывания развёртки у каждого тела свой: 90 градусов у куба, около 109,47 у тетраэдра и около 70,53 у октаэдра, и каждый из них дополняет двугранный угол этого тела до 180.

В списке есть и правильный додекаэдр с правильным икосаэдром. У каждого 43380 развёрток, слишком много, чтобы выложить их рядом, поэтому для каждого взята одна привычная: две розетки из центрального пятиугольника с пятью лепестками для додекаэдра и полоса из десяти равносторонних треугольников с шапкой из пяти на каждом конце для икосаэдра. Числа совпадают потому, что эти два тела тоже двойственны. Развёртка складывается примерно на 63,43 градуса у додекаэдра и примерно на 41,81 у икосаэдра.

Если срезать вершины правильного тела, получится архимедово тело. Срез делают там, где открывшаяся грань выходит правильным многоугольником: на трети каждого ребра у тел с треугольными гранями, 1/(2+√2) у куба и 1/(2+φ) у правильного додекаэдра. Тетраэдр даёт 4 треугольника и 4 шестиугольника, куб — 8 треугольников и 6 восьмиугольников, октаэдр — 6 квадратов и 8 шестиугольников, додекаэдр — 20 треугольников и 12 десятиугольников, а икосаэдр — 12 пятиугольников и 20 шестиугольников. Последнее и есть футбольный мяч. Вдоль рёбер, где по-прежнему сходятся две исходные грани, угол сгиба исходного тела переживает срез.

Список выходит за пределы правильных тел. Кубооктаэдр и икосододекаэдр — полуправильные тела, полученные срезанием вершин правильного тела по серединам его рёбер. Каждое ребро — это шов между одной и той же парой видов граней, поэтому угол сгиба только один. Ромбододекаэдр и ромботриаконтаэдр двойственны им, и все их грани — конгруэнтные ромбы. Ромбододекаэдр к тому же заполняет пространство без зазоров: такова форма кристалла граната и дна ячейки пчелиных сот. Развёртка складывается примерно на 54,74 градуса у кубооктаэдра, примерно на 37,38 у икосододекаэдра, ровно на 60 у ромбододекаэдра и ровно на 36 у ромботриаконтаэдра.

В списке есть также цилиндр и конус. Развёртка цилиндра — прямоугольник шириной в длину окружности основания и высотой в высоту цилиндра, к которому сверху и снизу примыкает по кругу. Развёртка конуса — сектор и круг, а центральный угол сектора равен 2π умножить на радиус основания и разделить на образующую, так что радиус, равный ровно половине образующей, даёт полукруг. Кривые поверхности не плоские, поэтому их режут на узкие полосы и клинья и сворачивают понемногу. Панель отображения меняет скорость раскрытия.

В списке есть также треугольная призма, четырёхугольная пирамида и усечённый конус. Развёртка призмы — полоса из трёх прямоугольников с треугольником на каждом конце среднего из них; развёртка пирамиды — квадрат с треугольником на каждой из четырёх сторон. Усечённый конус — это конус, срезанный сверху, поэтому развёртка его боковой поверхности — сектор того конуса без сектора вершины, то есть часть кольца.