Giải thích

Hình khai triển của các khối

Hình lập phương có đúng 11 hình khai triển khác nhau. Có 35 cách ghép sáu hình vuông theo cạnh, nhưng chỉ 11 cách trong số đó gấp lại thành hình lập phương, và những hình trùng nhau sau khi quay hoặc lật được tính là cùng một hình khai triển. Trên trang này cả 11 hình mở ra lần lượt từ dạng khối, và khi đủ bộ hiện trên màn hình thì trình tự bắt đầu lại.

Các mặt được tô màu, và bảng hiển thị còn có thể in một con số lên từng mặt. Màu được quyết định bởi mặt nào rơi xuống dưới khi hình lập phương lăn sang ô kế tiếp, nên mỗi hình khai triển đều hiện đủ sáu màu đúng một lần và bạn thấy được màu nào nằm đối diện màu nào. Các hình khai triển được xếp nhóm theo chiều dài của dải giữa: sáu hình thuộc loại 1-4-1, tức một dải bốn ô với một ô ở mỗi bên; ba hình thuộc loại 2-3-1; còn loại bậc thang 2-2-2 và loại 3-3 mỗi loại một hình.

Dùng bảng khối để chuyển sang tứ diện đều hoặc bát diện đều. Tứ diện có hai hình khai triển; bát diện có mười một, bằng đúng số của hình lập phương. Số lượng trùng nhau vì hình lập phương và bát diện là đối ngẫu, nên các mặt của chúng ghép nối theo cùng một kiểu. Góc mà hình khai triển gấp lại khác nhau theo từng khối: 90 độ với hình lập phương, khoảng 109,47 với tứ diện và khoảng 70,53 với bát diện, mỗi giá trị là góc bù của góc nhị diện của khối đó.

Thập nhị diện đều và nhị thập diện đều cũng có trong danh sách. Mỗi khối có 43380 hình khai triển, quá nhiều để xếp cạnh nhau, nên mỗi khối chỉ dùng một hình quen thuộc: hai bông hoa gồm một ngũ giác ở giữa được vây quanh bởi năm cánh cho thập nhị diện, và một dải mười tam giác đều với một nắp năm tam giác ở mỗi đầu cho nhị thập diện. Số lượng trùng nhau vì hai khối này cũng đối ngẫu với nhau. Hình khai triển gấp lại khoảng 63,43 độ với thập nhị diện và khoảng 41,81 với nhị thập diện.

Cắt các đỉnh của một khối đều sẽ được một khối Archimedes. Nhát cắt đặt ở chỗ khiến mặt lộ ra là một đa giác đều: tại một phần ba mỗi cạnh với các khối có mặt tam giác, 1/(2+√2) với hình lập phương và 1/(2+φ) với thập nhị diện đều. Tứ diện cho 4 tam giác và 4 lục giác, hình lập phương cho 8 tam giác và 6 bát giác, bát diện cho 6 hình vuông và 8 lục giác, thập nhị diện cho 20 tam giác và 12 thập giác, còn nhị thập diện cho 12 ngũ giác và 20 lục giác. Khối cuối cùng chính là quả bóng đá. Dọc theo các cạnh mà hai mặt gốc vẫn còn gặp nhau, góc gấp của khối gốc vẫn giữ nguyên sau nhát cắt.

Danh sách còn đi xa hơn các khối đều. Khối lập phương bát diện và khối nhị thập thập nhị diện là những khối gần đều, tạo ra bằng cách cắt các đỉnh của một khối đều ngay tại trung điểm các cạnh. Mọi cạnh đều là mối nối giữa cùng hai loại mặt, nên chỉ có một góc gấp duy nhất. Thập nhị diện thoi và tam thập diện thoi là đối ngẫu của chúng, và mọi mặt của chúng đều là những hình thoi bằng nhau. Riêng thập nhị diện thoi lấp đầy không gian không để lại khe hở: đó là hình của tinh thể ngọc hồng lựu và của đáy ô tổ ong. Hình khai triển gấp lại khoảng 54,74 độ với khối lập phương bát diện, khoảng 37,38 với khối nhị thập thập nhị diện, đúng 60 với thập nhị diện thoi và đúng 36 với tam thập diện thoi.

Hình trụ và hình nón cũng có trong danh sách. Hình khai triển của hình trụ là một hình chữ nhật rộng bằng chu vi đáy và cao bằng chính hình trụ, với một đường tròn chạm vào ở trên và một ở dưới. Hình khai triển của hình nón là một hình quạt và một đường tròn, và góc ở tâm của hình quạt bằng 2π nhân bán kính đáy chia cho đường sinh, nên bán kính bằng đúng một nửa đường sinh sẽ cho nửa đường tròn. Các mặt cong không phẳng, nên chúng được cắt thành những dải và những nêm mỏng rồi cuộn lên từng chút một. Bảng hiển thị thay đổi tốc độ mở.

Lăng trụ tam giác, chóp tứ giác và hình nón cụt cũng có trong danh sách. Hình khai triển của lăng trụ là một dải ba hình chữ nhật với một tam giác ở mỗi đầu của hình chữ nhật giữa; hình khai triển của chóp là một hình vuông với một tam giác ở mỗi trong bốn cạnh. Hình nón cụt là hình nón bị cắt ngắn, nên hình khai triển mặt bên của nó là hình quạt của hình nón ấy bỏ đi hình quạt phần chóp, tức một phần của hình vành khăn.