說明

立體的展開圖

正方體的展開圖恰好有 11 種。六個正方形邊對邊拼接共有 35 種方式,但其中只有 11 種能摺成正方體;旋轉或翻面後能重合的圖形算作同一種。本頁把這 11 種從立體狀態逐一展開,全部出現後再回到開頭重新播放。

各個面用不同顏色區分,在顯示面板中還可以為每個面標上數字。顏色由正方體滾動到相鄰方格時落在底面的那一面決定,因此每一種展開圖都恰好出現六種顏色各一次,摺起來時哪兩種顏色相對也能一眼看出。按中間長條的長度分類:直排四格的長條左右各加一格的 1-4-1 型有 6 種,2-3-1 型有 3 種,階梯狀的 2-2-2 型和 3-3 型各 1 種。

在圖形面板中可以切換到正四面體和正八面體。正四面體的展開圖有 2 種,正八面體與正方體一樣有 11 種。數目一致是因為正方體與正八面體互為對偶,各面相連的方式形成相同的結構。從展開圖摺回的角度因立體而異:正方體是 90 度,正四面體約為 109.47 度,正八面體約為 70.53 度,都是該立體二面角的補角。

正十二面體和正二十面體也在清單中。兩者的展開圖都有 43380 種,不是能並排比較的數目,因此各自只取一種常見的形狀:正十二面體是中央正五邊形加五片花瓣的花朵兩朵相連,正二十面體是十個正三角形組成的長條加上下各五片的封蓋。數目一致是因為這兩者也互為對偶,摺回的角度正十二面體約為 63.43 度,正二十面體約為 41.81 度。

把正多面體的頂點切掉,就得到阿基米德立體。切的位置取在切口恰好成為正多邊形的地方:面為正三角形的立體取稜的 1/3,正方體取 1/(2+√2),正十二面體取 1/(2+φ)。正四面體得到 4 個正三角形和 4 個正六邊形,正方體得到 8 個三角形和 6 個正八邊形,正八面體得到 6 個正方形和 8 個正六邊形,正十二面體得到 20 個三角形和 12 個正十邊形,正二十面體得到 12 個正五邊形和 20 個正六邊形。最後一個就是足球。在兩個原有的面仍然相接的稜上,摺角保持原立體的數值不變。

清單還越過了正多面體。立方八面體和二十·十二面體是半正多面體,把正多面體的頂點沿各稜中點切掉就得到它們。所有的稜都是同樣兩種面的交界,因此摺角也只有一種。菱形十二面體和菱形三十面體是它們的對偶,各面都是全等的菱形。其中菱形十二面體還能把空間填滿而不留縫隙,石榴石的晶體和蜂巢的底部就是這個形狀。摺回的角度,立方八面體約為 54.74 度,二十·十二面體約為 37.38 度,菱形十二面體恰好 60 度,菱形三十面體恰好 36 度。

圓柱和圓錐也在清單中。圓柱的展開圖是一個寬等於底面周長、高等於圓柱高的長方形,上下各有一個與之相切的圓。圓錐則是一個扇形加一個圓,扇形的圓心角等於 2π × 底面半徑 ÷ 母線,因此半徑恰為母線一半時圓心角是 180 度,即半圓。側面不是平面,所以被分成細窄的長條和扇形,一點一點捲起來。展開的速度可以在顯示面板中調整。

此外還有三角柱、四角錐和圓錐台。三角柱的展開圖是三個長方形連成的長條,中間那個的上下各接一個三角形;四角錐是底面的正方形四邊各接一個三角形。圓錐台是把圓錐中途切開得到的立體,所以側面是扇形去掉頂端小扇形後剩下的圓環的一部分。