Un campo vectorial sobre una variedad asigna un vector tangente a cada punto, y la asignación varía de forma suave de un punto a otro.
Conviene tener en mente un fluido. Los apuntes de F. Jean proponen pensar en X como el campo de velocidades de un fluido que se mueve sobre M [1]: la flecha en cada punto es la velocidad del fluido allí.
Una vez que hay una flecha en cada punto, las partículas empiezan a moverse a lo largo de las flechas. En la figura aparecen primero las flechas; después se sueltan partículas entre ellas, que siguen las flechas y se acercan a la circunferencia unidad.
Formalmente, un campo vectorial es una sección suave del fibrado tangente TM [2]. Asigna a cada punto p un elemento de T_pM, y se exige que la asignación sea suave.
En una carta se escribe mediante componentes. Con la base de coordenadas toma la forma siguiente [1].
X(x) = \sum_{i=1}^{n} X^{i}(x) \, \frac{\partial}{\partial x^{i}}
X es suave exactamente cuando las funciones componentes X^i son suaves [2]. Los propios vectores de la base de coordenadas son campos vectoriales: asignar \partial/\partial x^i a cada punto da los campos coordenados [1].
La figura muestra una superficie en forma de silla con sus curvas coordenadas. En el punto que se mueve, \partial_1 y \partial_2 son tangentes a las curvas coordenadas, y X es la diagonal del paralelogramo generado por X^1 \partial_1 y X^2 \partial_2 en el plano tangente.
Los vectores tangentes eran operadores diferenciales, así que un campo vectorial se convierte en un operador que envía funciones en funciones. El valor de X \cdot f en un punto es la tasa a la que cambia f en la dirección de X en ese punto.
Esta acción es lineal y cumple la regla de Leibniz [1]. Un operador con estas dos propiedades se llama derivación, y los campos vectoriales se pueden identificar con las derivaciones.
X \cdot (fg) = f \, (X \cdot g) + g \, (X \cdot f)
Vistos como operadores, los campos vectoriales se suman y se multiplican por escalares de la manera natural, y el conjunto \mathfrak{X}(M) es un espacio vectorial de dimensión infinita.
En la figura, las curvas finas son curvas de nivel de f, y el sombreado es la nueva función X \cdot f: en color donde f crece a lo largo de X y en gris donde decrece. Donde las flechas van a lo largo de las curvas de nivel, X \cdot f vale 0, y esa frontera se mueve cuando cambia X.
Dar un campo vectorial es lo mismo que escribir una ecuación diferencial ordinaria sobre la variedad [1].
\dot{q} = X(q), \qquad q \in M
Sus soluciones se llaman curvas integrales: curvas c(t) con \dot{c}(t) = X(c(t)) en todo instante [1]. La existencia y la unicidad valen localmente. Para cada punto p hay un \eta > 0 tal que exactamente una curva integral definida para t \in (-\eta, \eta) parte de c_p(0) = p [1].
La demostración es corta: en una carta la ecuación se convierte en una ecuación diferencial ordinaria en \mathbb{R}^n [1]. Mientras todo sea local, no aparece nada propio de las variedades.
La figura usa la ecuación del péndulo \dot{x} = y, \dot{y} = -\sin x. Las curvas integrales crecen una a una desde distintos puntos de partida, siempre tangentes a los segmentos cortos del campo, y por la unicidad nunca se cruzan dos de ellas.
La dependencia de la condición inicial también es suave. Para un entorno U_p de p y un intervalo de tiempo I, la aplicación \varphi(t, q) = c_q(t) es suave [1].
Para cada t fijo, la aplicación \varphi_t : q \mapsto \varphi(t, q) es un difeomorfismo local. Esta familia se llama el flujo de X [1].
En la figura, un pequeño cuadrado con una cuadrícula es transportado por un flujo que gira más deprisa cerca del centro. El cuadrado se estira en espiral, pero nunca se rompe ni se pliega, y al fluir hacia atrás con \varphi_{-t} vuelve exactamente a su posición inicial.
El flujo forma un grupo local uniparamétrico [1]. Cada \varphi_t es un difeomorfismo local, t \mapsto \varphi_t es suave, \varphi_0 es la identidad y se cumple lo siguiente.
\varphi_t \circ \varphi_s = \varphi_{t+s}
La última propiedad es la esencial. Fluir durante s y después durante t es la misma operación que fluir durante t + s: la suma de tiempos se ha convertido en composición de aplicaciones.
En la figura el flujo gira y contrae, así que su aplicación de tiempo 1 rota y encoge. Las imágenes \varphi_1(U), \varphi_2(U), \varphi_3(U) se alinean a lo largo de una espiral logarítmica, y al aplicar \varphi_1 a \varphi_k(U) siempre se obtiene \varphi_{k+1}(U).
Los difeomorfismos transportan los flujos. Si F es un difeomorfismo, el flujo de F_{*}X es F \circ \varphi_t \circ F^{-1}, el conjugado del flujo original [1].
Aplicar dos campos vectoriales uno tras otro, XY, no da un campo vectorial. Aparecen derivadas segundas y la regla de Leibniz falla [1].
Sin embargo, al tomar la diferencia, los términos de segundo orden se cancelan [1].
[X, Y] = XY - YX
Comprobar la regla de Leibniz es breve: se desarrolla XY \cdot (fg), se resta YX \cdot (fg) y los términos sobrantes se cancelan [1]. En componentes, cada campo deriva las componentes del otro y se toma la diferencia [1].
[X, Y]^{i} = \sum_j \left( X^{j} \frac{\partial Y^{i}}{\partial x^{j}} - Y^{j} \frac{\partial X^{i}}{\partial x^{j}} \right)
La figura desarrolla XY f y YX f, sumando sobre los índices repetidos. Los términos con derivadas segundas de f coinciden, porque las derivadas parciales se pueden tomar en cualquier orden, así que se cancelan en la diferencia y solo quedan las componentes de arriba.
Lo que mide el corchete se ve al combinar flujos. Se fluye a lo largo de X_1 durante un tiempo t, después a lo largo de X_2 durante t, y luego hacia atrás a lo largo de X_1 y hacia atrás a lo largo de X_2, cada vez durante t.
El camino no tiene por qué volver al punto de partida. El desfase es el siguiente [1].
\varphi^{2}_{-t} \circ \varphi^{1}_{-t} \circ \varphi^{2}_{t} \circ \varphi^{1}_{t}(p) - p = t^2 [X_1, X_2](p) + o(t^2)
El desfase es de orden t^2. Los términos de primer orden se cancelan, así que a primera vista el camino parece cerrarse.
En la figura, X_1 es una traslación y X_2 una rotación, de modo que los cuatro tramos son dos segmentos y dos arcos. Al disminuir t, el desfase disminuye como t^2, y el desfase dividido entre t^2 se acerca al vector [X_1, X_2](p).
Tomemos X_1 = \partial_x y X_2 = x \, \partial_y en el plano. Sus flujos son \varphi^1_t(x, y) = (x + t, y) y \varphi^2_s(x, y) = (x, y + sx).
Partiendo del origen, el punto pasa a (t, 0), (t, t^2), (0, t^2) y finalmente se queda en (0, t^2). No vuelve al origen, sino que termina t^2 más arriba.
El corchete es [X_1, X_2] = \partial_y, que es exactamente la dirección del desfase.
La figura mueve todo el plano junto con el punto. El segundo tramo cizalla el plano y el cuarto lo deshace, y tras los cuatro tramos todo punto del plano, no solo el origen, ha subido t^2.
El desfase es el corchete, y los dos flujos conmutan exactamente cuando el corchete es 0 [1]. Los campos coordenados conmutan: [\partial_i, \partial_j] = 0, lo que vuelve a decir que las derivadas parciales se pueden tomar en cualquier orden.
Cuánto tiempo está definido el flujo depende del punto. Un campo vectorial cuyas curvas integrales están todas definidas para todo t \in \mathbb{R} se llama completo.
Es fácil encontrar campos que no son completos. En \mathbb{R} tomemos X = x^2 \, \partial_x, de modo que la ecuación es \dot{x} = x^2. La solución con x(0) = 1 es x(t) = 1/(1 - t), que diverge cuando t \to 1: llega al infinito en un tiempo finito y no se puede prolongar más allá.
La figura dibuja toda la recta en una anchura finita, con el infinito en los dos bordes, y hace correr el tiempo hacia arriba. La trayectoria de una partícula que parte de x_0 > 0 llega al borde derecho en el tiempo finito 1/x_0, así que cuanto más lejos empieza, antes sale, mientras que las trayectorias del lado negativo solo se acercan a 0.
En una variedad compacta esto no puede ocurrir: no hay adónde escapar, así que todo campo vectorial es completo. Para un campo completo, el grupo local se convierte en un grupo de verdad. Cada \varphi_t es un difeomorfismo de toda la variedad, y t \mapsto \varphi_t es un homomorfismo de grupos definido en \mathbb{R}.
Los campos vectoriales lineales son un buen ejemplo. En \mathbb{R}^n tomemos X(x) = Ax; la ecuación es \dot{x} = Ax.
La solución se expresa con la exponencial de matrices, y el flujo es \varphi_t(x) = e^{tA}x. Está definido para todo t, así que X es completo. Cada \varphi_t es una aplicación lineal, de modo que en la figura la circunferencia de puntos se transforma en una elipse en cada instante, mientras cada punto sigue su propia espiral.
El corchete de dos campos lineales X_A y X_B produce el conmutador de las matrices [1]: el corchete de los campos vectoriales corresponde a BA - AB.
Es la aparición más sencilla de la relación entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie. El hecho de que los flujos no conmuten se convierte en el hecho de que las matrices no conmuten.
El corchete no se destruye al transportarlo con una aplicación. Si F : M \to N es un difeomorfismo, se cumple lo siguiente [1].
F_{*}[X, Y] = [F_{*}X,\ F_{*}Y]
Así, el corchete es una estructura que no depende de las coordenadas, y con él \mathfrak{X}(M) se convierte en un álgebra de Lie.
Transportar un campo vectorial con una aplicación requiere un difeomorfismo [1]. Si la aplicación no es inyectiva, dos valores compiten en el mismo punto imagen; si no es sobreyectiva, algunos puntos no reciben ningún valor.
En la figura, la cuadrícula y sus flechas se doblan poco a poco. En el punto marcado, el corchete transportado y el corchete de los campos transportados siguen superpuestos. Al final la aplicación forma un pliegue, y dos flechas con direcciones distintas llegan al mismo punto.
El corchete también se puede leer como la tasa de cambio de Y vista mientras uno se mueve con el flujo de X.
Se toma el valor de Y en el instante t a lo largo del flujo y se lleva de vuelta al punto de partida. Derivar el resultado respecto de t define la derivada de Lie de Y a lo largo de X.
\mathcal{L}_X Y = \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} \bigl( \varphi_{-t} \bigr)_{*} Y
Esta cantidad coincide con [X, Y], así que el corchete es la derivada que mide el cambio a lo largo del flujo. En la figura, los vectores de Y en los puntos \varphi_t(p) se llevan de vuelta a p uno tras otro. Sus extremos describen una curva, y su velocidad en t = 0 es \mathcal{L}_X Y en p.
A diferencia de la derivada covariante, no hace falta una conexión. La derivada de Lie queda determinada solo por el flujo, así que se puede usar en variedades sin métrica ni conexión.
A cambio, \mathcal{L}_X Y no queda determinada solo por X_p; depende de X en un entorno de p. Aquí X hace algo más que señalar una dirección, y en eso se diferencia de la derivada covariante.
Al poner una flecha en cada punto, ¿se puede evitar el vector cero en todas partes? La respuesta depende de la forma de la variedad.
En las esferas de dimensión impar se puede. Consideremos S^{2n-1} como subconjunto de \mathbb{R}^{2n} con coordenadas (x^1, y^1, \ldots, x^n, y^n). Entonces el siguiente campo no se anula en ningún punto [2].
X = \sum_{i=1}^{n} \left( -y^{i} \frac{\partial}{\partial x^{i}} + x^{i} \frac{\partial}{\partial y^{i}} \right)
Solo gira cada plano coordenado. Es ortogonal al vector de posición, así que es tangente a la esfera, y su longitud es 1, así que nunca vale 0. Para n = 1 es el campo tangente unitario de la circunferencia S^1.
Para n = 2, cada curva integral es un círculo máximo de S^3. La figura lleva S^3 al espacio mediante la proyección estereográfica, donde estos círculos forman una familia de circunferencias enlazadas dos a dos, y una partícula recorre cada una de ellas.
En las esferas de dimensión par no se puede: todo campo vectorial tiene un cero. Es lo que afirma el teorema de la bola peluda [2].
La figura dibuja con densidad las flechas de un campo sobre S^2 y cambia el campo de forma continua. Sus dos ceros se acercan, se funden en uno y vuelven a separarse, pero por mucho que se cambie el campo, nunca desaparece un cero.
Una pregunta más exigente: ¿se pueden encontrar tantos campos vectoriales como la dimensión, linealmente independientes en cada punto, de modo que formen una base de cada espacio tangente?
Una variedad en la que esto es posible se llama paralelizable. Entre las esferas, solo S^1, S^3 y S^7 son paralelizables [1]. Las esferas de dimensión par quedan todas excluidas: no admiten ni siquiera un campo sin ceros, y menos aún una base [1].
S^3 y S^7 están en la lista gracias a la multiplicación de los cuaterniones y de los octoniones. La existencia de un álgebra se manifiesta como una propiedad geométrica.
Para S^1, la figura va poniendo verticales las rectas tangentes una tras otra. Se alinean formando un cilindro, de modo que el fibrado tangente es el producto S^1 \times \mathbb{R}, y el campo sin ceros se convierte en una circunferencia horizontal sobre el cilindro.
Si el campo es tangente a una subvariedad, el flujo se queda dentro de ella. Sea N \subset M una subvariedad con X(q) \in T_qN en todo punto q de N. Entonces una curva integral que parte de un punto de N permanece en N, al menos durante un tiempo corto [1].
La razón es la unicidad. La restricción de X a N es un campo vectorial sobre N, así que sus soluciones también son soluciones en M. Solo hay una solución, así que ambas coinciden [1].
Por eso, en un sistema dinámico con una cantidad conservada, las órbitas no abandonan un conjunto de nivel. Si la energía se mantiene constante, la velocidad es tangente a la superficie de nivel de la energía.
La figura muestra la ecuación de un sólido rígido que gira libremente. El vector de momento angular m conserva su longitud, así que el campo es tangente a cada esfera |m| = c, y cada órbita se queda en la esfera de la que partió.