少なくとも 1 回起こる確率の求め方

くり返し試したとき、少なくとも 1 回起こる確率を求めます。「1 回だけ」「2 回」…と数え上げると大変ですが、その裏をとれば掛け算 1 つで済みます。

$p$ は 1 回あたりの確率、$n$ は試行回数です。$(1-p)^n$ は 1 回も起こらない確率で、それ以外はすべて「少なくとも 1 回」にあたります。

例

1 回 3% のくじを 30 回引きます。1 回も当たらない確率は $0.97^{30} = 0.401$、40.1% です。したがって少なくとも 1 回当たる確率は 59.9% になります。当たる回数の期待値は $30 \times 0.03 = 0.9$ 回です。

期待値 1 回でも、確実ではない

期待値が 0.9 回あっても、4 割は 1 回も当たりません。期待値と「少なくとも 1 回起こる確率」は別のものです。$p$ が小さいとき、確率が 50% を超えるのに必要な回数はおよそ $0.69 \div p$ 回で、この例では 23 回です。

逆をとる考え方

「少なくとも 1 つ」を求めるときは、たいてい「1 つもない」の裏をとるほうが速くなります。サイコロを 4 回振って 6 が少なくとも 1 回出る確率も、$1 - (5/6)^4 = 51.8$% とすぐ出ます。

注意

毎回の確率が同じで、前の結果に影響されないことが前提です。くじを引いて戻さない場合は当てはまりません。