単純梁のたわみの求め方

両端を支えただけの梁を単純梁といいます。荷重をかけると中央がたわみます。その量は荷重のかかり方で式が変わります。

中央に 1 点だけ荷重をかける場合と、全体に均等にかける場合の式です。

• $\delta$ はたわみ
• $P$ は集中荷重、$w$ は 1 m あたりの等分布荷重
• $L$ はスパン（支点間の距離）
• $E$ はヤング係数、$I$ は断面二次モーメント

$E$ は材料の硬さ、$I$ は断面の形の効きです。この 2 つの積を曲げ剛性といい、梁の曲がりにくさを表します。

スパンが決定的に効く

式でスパンが 3 乗、等分布では 4 乗になっているところが要点です。

集中荷重でスパンを 2 倍にすると、たわみは 8 倍になります。荷重を 2 倍にしてもたわみは 2 倍にしかならないのに、距離を伸ばすほうがはるかに効きます。梁を飛ばす設計が難しいのはこのためです。

断面のほうも似た事情があります。長方形断面の断面二次モーメントは 幅 × 高さ³ ÷ 12 で、高さが 3 乗で効きます。同じ材でも縦に使うか横に使うかで剛性がまるで違うのは、これが理由です。

例

既定の入力は、スパン 3.64 m の梁に中央から 5 kN をかけた場合です。ヤング係数 8 GPa は木材のおおよその値、断面二次モーメント 10000 cm⁴ は 105 mm 幅の梁に相当します。

たわみはおよそ 6.28 mm、最大曲げモーメントは $PL \div 4$ でちょうど 4.55 kN·m になります。支点にはそれぞれ 2.5 kN がかかります。

スパンをたわみで割るとおよそ 580 です。建築でのたわみの目安はスパンの 300 分の 1 以下ですから、この梁は十分に収まっています。

注意

木材のヤング係数は樹種と等級で 6 から 12 GPa ほどまで幅があります。使う材の値を確かめてください。

長期にわたって荷重がかかり続けると、木材はじわじわとたわみを増していきます。クリープといい、最終的なたわみは計算値のおよそ 2 倍になるとされています。この計算機はクリープを含んでいません。

実際の設計では、たわみだけでなく曲げ応力とせん断応力も確かめる必要があります。

断面二次モーメントは、長方形なら手で出せます。105 mm × 240 mm の梁なら $10.5 \times 24^3 \div 12$ でおよそ 12096 cm⁴、105 mm 角の柱なら $10.5 \times 10.5^3 \div 12$ でおよそ 1013 cm⁴ です。断面積は 2.3 倍しか違わないのに、曲げにくさは 12 倍違います。梁を背の高い断面にするのが効くことが、この数字から見て取れます。