ベルヌーイの定理の求め方

管を流れる液体では、圧力・速さ・高さの 3 つを合わせたものが、流れに沿って一定に保たれます。流れに沿った 2 つの断面を 1、2 とすると、次の式が成り立ちます。

$p$ は圧力、$\rho$ は密度、$v$ は流速、$h$ は高さです。第 2 項を動圧、第 3 項を位置による圧力といいます。これはエネルギー保存を流体について書いたもので、3 つの項はそれぞれ圧力・運動・位置のエネルギーにあたります。

速いところは圧力が低い

和が一定なので、速さが上がればそのぶん圧力が下がります。管が細くなると同じ流量を通すために流速が上がり、細いところで圧力が低くなります。飛行機の翼が浮くのも、霧吹きが液を吸い上げるのも、この関係によります。

例

断面 1 で圧力 200 kPa、流速 2 m/s、高さ 0 m の水が、断面 2 で流速 8 m/s、高さ 3 m になったとします。速くなったぶんで $\frac{1}{2} \times 1000 \times (2^2 - 8^2) = -30$ kPa、高くなったぶんで $1000 \times 9.8 \times (0 - 3) = -29.4$ kPa 下がり、断面 2 の圧力は $200 - 30 - 29.4 = 140.6$ kPa になります。

注意

この式は粘りけのない流体で、摩擦による損失がない場合のものです。実際の配管では管の内壁との摩擦で圧力がさらに下がるので、長い配管ではその損失を別に見込みます。

流れに沿った 2 点を比べる式です。別々の流れの上にある 2 点どうしを比べることはできません。