柱の座屈荷重の求め方

細長い柱は、材料が潰れる前に横へ折れ曲がって壊れます。これを座屈といい、その限界の荷重を求めます。

$E$ はヤング係数、$I$ は断面二次モーメント、$L$ は柱の長さ、$k$ は有効長さ係数です。

長さの 2 乗で効く

分母が長さの 2 乗なので、柱を 2 倍長くすると耐えられる荷重は 4 分の 1 になります。太さより長さのほうが強く効くのが座屈の特徴です。細い棒を両手で押すと簡単に曲がるのに、短く切ると急に曲がらなくなるのは、この 2 乗のためです。

支持の仕方で変わる

有効長さ係数は、柱の両端がどう留まっているかで決まります。両端ピンで 1.0、一端固定・他端ピンで 0.7、両端固定で 0.5、片持ちで 2.0 です。両端をしっかり固定すれば $k$ が半分になり、荷重は 4 倍まで耐えられます。逆に片持ちでは 4 分の 1 に落ちます。留め方だけで 16 倍の差がつきます。

例

ヤング係数 8 GPa、断面二次モーメント 1013 cm⁴、長さ 3 m の柱を両端ピンで支えます。座屈荷重は 88.9 kN です。断面積が 110.25 cm² なら細長比は 99、座屈応力度は 8.06 N/mm² になります。

注意

オイラーの式が使えるのは細長比が大きい場合です。細長比が小さい太くて短い柱では、座屈する前に材料そのものが潰れるので、圧縮強度で決まります。