2 円の重なりの面積の求め方

2 つの円が重なった部分の面積を求めます。重なりは 2 つの弓形を貼り合わせた形なので、それぞれの扇形から三角形を引いて足し合わせます。共通弦の長さもあわせて出します。

2 つの円が部分的に重なると、レンズのような形ができます。この面積は、それぞれの円から切り取られた弓形を 2 つ貼り合わせたものです。

S = r_1^2 \theta_1 + r_2^2 \theta_2 - \dfrac{1}{2}\sqrt{(-d + r_1 + r_2)(d + r_1 - r_2)(d - r_1 + r_2)(d + r_1 + r_2)}

\theta_1 = \arccos\dfrac{d^2 + r_1^2 - r_2^2}{2 d r_1} \qquad \theta_2 = \arccos\dfrac{d^2 + r_2^2 - r_1^2}{2 d r_2}

角は余弦定理から出ます。2 つの中心と、円が交わる点の 1 つを結ぶと三角形ができ、その 3 辺は $r_1$ 、 $r_2$ 、 $d$ です。この三角形の角がそのまま $\theta_1$ 、 $\theta_2$ になります。

最後に引いている平方根は、この三角形の面積の 4 倍です。ヘロンの公式を展開した形になっています。扇形を 2 つ足すと三角形の部分を二重に数えてしまうので、そのぶんを引いています。

例

既定の入力で見てみます。半径 5 と 4 の円が、中心を 6 だけ離して置かれています。

$\theta_1$ は $\arccos(45 \div 60)$ でおよそ 0.7227、 $\theta_2$ は $\arccos(27 \div 48)$ でおよそ 0.9728 です（単位はラジアン）。

$25 \times 0.7227$ がおよそ 18.0683、 $16 \times 0.9728$ がおよそ 15.5647、平方根の項の半分がおよそ 19.8431 です。足し引きして、重なりの面積はおよそ 13.7995 になります。

共通弦の長さはおよそ 6.6144 です。小さいほうの円の面積はおよそ 50.2655 ですから、その 27.45% ほどが重なっていることになります。

中心が離れすぎていると、2 円は重なりません。 $d$ が $r_1 + r_2$ 以上のときで、面積は 0 になります。ちょうど等しいときは外側で接するだけなので、やはり 0 です。

逆に中心が近すぎると、小さいほうの円がすっぽり入ります。 $d$ が半径の差以下のときで、重なりは小さいほうの円そのものになります。このとき交わる点はないので、共通弦は 0 と返します。

その中間でだけ、上の式を使います。電波やセンサーの届く範囲がどれだけ重なっているか、といった場面で使う計算です。