衝突と反発係数の求め方

一直線上で衝突した 2 物体の、衝突後の速度を求めます。運動量の保存と反発係数の定義を連立させて解きます。反発係数は 1 が完全弾性衝突、0 が合体してひとつになる衝突です。

一直線上で 2 つの物体が衝突したあとの速度を求めます。使うのは 2 つの式です。ひとつは運動量の保存で、衝突の前後で $m_1v_1 + m_2v_2$ が変わらないことです。

m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'

もうひとつは反発係数 $e$ の定義で、衝突後に離れる速さと、衝突前に近づく速さの比です。

e = -\dfrac{v_1' - v_2'}{v_1 - v_2}

この 2 つを連立させると、衝突後の速度が 2 つとも決まります。

反発係数の意味

$e = 1$ なら完全弾性衝突で、運動エネルギーがまったく失われません。 $e = 0$ なら 2 つはくっついて同じ速度で動き、失われるエネルギーが最大になります。あいだの値では一部が熱や音になって失われます。

例

2 kg の物体が 5 m/s で、3 kg の物体が $-1$ m/s で正面衝突し、反発係数が 0.5 だとします。衝突後は $-0.4$ m/s と 2.6 m/s になります。運動量は前も後も 7 kg·m/s で変わらず、運動エネルギーは 26.5 J から 10.3 J へ減って、16.2 J が失われています。

注意

速度は向きを含む量です。右向きを正とするなら、左へ動く物体は負の値で入れます。

運動量はどんな衝突でも保存しますが、運動エネルギーは $e = 1$ のときだけ保存します。